Монгол Бодлогын Сан

Эх хэлээрээ суралцаж, эх хэлээрээ мэдлэгээ түгээе.

$m=\dfrac{1}{\sqrt{5}-1}$, $n=\dfrac{1}{\sqrt{5}+1}$ бол $$m^3-m^2n+mn^2-n^3=\dfrac{\fbox{a}}{\fbox{b}}$$ (2 оноо)
$a=\dfrac{2}{\sqrt{5}+1}$ бол $a-\dfrac{1}{a}=-\fbox{c}$ (2 оноо), $a^3-\dfrac{1}{a^3}=-\fbox{d}$ (2 оноо), $a^5-\dfrac{1}{a^5}=-\fbox{ef}$ (2 оноо) байна.

ab = 38

c = 1

d = 4

ef = 11

Бодлогын төрөл: Нөхөх

Амжилтын хувь: 42.65%

Заавар:

$m-n=\dfrac{1}{\sqrt{5}-1}-\dfrac{1}{\sqrt{5}+1}=\dfrac{2}{(\sqrt{5})^2-1^2}=\dfrac{1}{2}$, $m\cdot n=\dfrac{1}{\sqrt{5}-1}\cdot \dfrac{1}{\sqrt{5}+1}=\dfrac14$ болохыг ашиглан бод.
$a=\dfrac{2}{\sqrt{5}+1}$ бол $\dfrac{1}{a}=\dfrac{2}{\sqrt{5}-1}$ байна. Биномын томьёоноос $$a^n-a^{-n}=(a-a^{-1})^n+C_n^{n-2}(a^{n-2}+a^{2-n})-C_n^{n-4}(a^{n-4}+a^{4-n})+\cdots$$ байна.

Бодолт:

$$m^3-m^2n+mn^2-n^3=(m-n)^3+2mn(m-n)=$$ $$=\Big(\dfrac{1}{2}\Big)^3+2\cdot\dfrac14\cdot\dfrac{1}{2}=\dfrac{3}{8}$$
$a-\dfrac{1}{a}=\dfrac{2}{\sqrt5+1}-\dfrac{2}{\sqrt5-1}=\dfrac{2(\sqrt5-1)-2(\sqrt5+1)}{(\sqrt{5})^2-1^2}=-1$ байна. $$a^3-\dfrac{1}{a^3}=\Big(a-\dfrac{1}{a}\Big)^3+3\Big(a-\dfrac{1}{a}\Big)=(-1)^3+3\cdot (-1)=-4$$ $$a^5-\dfrac{1}{a^5}=\Big(a-\dfrac{1}{a}\Big)^5+5\Big(a^3-\dfrac{1}{a^3}\Big)-10\Big(a-\dfrac{1}{a}\Big)=$$ $$=(-1)^5+5\cdot (-4)-10\cdot (-1)=-11$$