Монгол Бодлогын Сан

Эх хэлээрээ суралцаж, эх хэлээрээ мэдлэгээ түгээе.

Тойрогт багтсан $ABCD$ дөрвөн өнцөгтийн хувьд $AB=4$ , $AC=6$ , $BD=5$ , $DC=\dfrac{45}{8}$ байв.

$BC=\fbox{a}$ байна (3 оноо).
$AD=\dfrac{\fbox{b}}{\fbox{c}}$ байна (2 оноо).(Хариуг үл хураагдах бутархай хэлбэрээр бичээрэй!)
Багтаасан тойргийн радиус $\dfrac{\fbox{d}}{\fbox{e}}\sqrt{\fbox{f}}$ байна (3 оноо).

a = 5

bc = 32

def = 877

Бодлогын төрөл: Нөхөх

Амжилтын хувь: 50.00%

Заавар: Тойрогт багтсан 4 өнцөгт тул

$\alpha=\angle BAC=\angle BDC$ байна. Косинусын теорем ашиглан энэ өнцгийн косинусыг ол.

Бодолт: Косинусын теоремоор

$BC^2=AB^2+AC^2-2\cdot AB\cdot AC\cdot\cos\alpha$

$BC^2=DB^2+DC^2-2\cdot DB\cdot DC\cdot\cos\alpha$ Эдгээрийг хасвал

$0=4^2+6^2-2\cdot 4\cdot 6\cos\alpha-5^2-\Big(\dfrac{45}{8}\Big)^2+2\cdot 5\cdot \dfrac{45}{8}\cos\alpha$ тул

$\cos\alpha=\dfrac{9}{16}$ байна. Иймд

$BC^2=4^2+6^2-2\cdot 4\cdot 6\cdot\dfrac{9}{16}=25$ тул

$BC=5$ .

Тойрогт багтсан дөрвөн өнцөгт тул

$AC\cdot BD=AB\cdot CD+AD\cdot BC\Leftrightarrow$

$6\cdot 5=4\cdot\dfrac{45}{8}+AD\cdot 5\Rightarrow AD=\dfrac{3}{2}$ байна.

$\alpha<180^\circ$ тул

$\sin\alpha=\sqrt{1-\Big(\dfrac{9}{16}\Big)^2}=\dfrac{5\sqrt{7}}{16}$ байна. Синусын теоремоор багтаасан тойргийн радиус нь

$R=\dfrac{BC}{2\sin\alpha}=\dfrac{5}{2\cdot\frac{5\sqrt{7}}{16}}=\dfrac{8\sqrt{7}}{7}$ байна.