Монгол Бодлогын Сан
Эх хэлээрээ суралцаж, эх хэлээрээ мэдлэгээ түгээе.
Тойрогт багтсан 4 өнцөгт
Тойрогт багтсан $ABCD$ дөрвөн өнцөгтийн хувьд $AB=4$, $AC=6$, $BD=5$, $DC=\dfrac{45}{8}$ байв.
- $BC=\fbox{a}$ байна (3 оноо).
- $AD=\dfrac{\fbox{b}}{\fbox{c}}$ байна (2 оноо).(Хариуг үл хураагдах бутархай хэлбэрээр бичээрэй!)
- Багтаасан тойргийн радиус $\dfrac{\fbox{d}}{\fbox{e}}\sqrt{\fbox{f}}$ байна (3 оноо).
a = 5
bc = 32
def = 877
Бодлогын төрөл: Нөхөх
Амжилтын хувь: 50.00%
Бодлогыг оруулсан: Балхүүгийн Батбаясгалан
Бодолт
Заавар: Тойрогт багтсан 4 өнцөгт тул $\alpha=\angle BAC=\angle BDC$ байна. Косинусын теорем ашиглан энэ өнцгийн косинусыг ол.
Бодолт: Косинусын теоремоор
$$BC^2=AB^2+AC^2-2\cdot AB\cdot AC\cdot\cos\alpha$$
$$BC^2=DB^2+DC^2-2\cdot DB\cdot DC\cdot\cos\alpha$$
Эдгээрийг хасвал
$$0=4^2+6^2-2\cdot 4\cdot 6\cos\alpha-5^2-\Big(\dfrac{45}{8}\Big)^2+2\cdot 5\cdot \dfrac{45}{8}\cos\alpha$$
тул $\cos\alpha=\dfrac{9}{16}$ байна. Иймд
$$BC^2=4^2+6^2-2\cdot 4\cdot 6\cdot\dfrac{9}{16}=25$$
тул $BC=5$.
Тойрогт багтсан дөрвөн өнцөгт тул $$AC\cdot BD=AB\cdot CD+AD\cdot BC\Leftrightarrow$$ $$6\cdot 5=4\cdot\dfrac{45}{8}+AD\cdot 5\Rightarrow AD=\dfrac{3}{2}$$ байна.
$\alpha<180^\circ$ тул $\sin\alpha=\sqrt{1-\Big(\dfrac{9}{16}\Big)^2}=\dfrac{5\sqrt{7}}{16}$ байна. Синусын теоремоор багтаасан тойргийн радиус нь $$R=\dfrac{BC}{2\sin\alpha}=\dfrac{5}{2\cdot\frac{5\sqrt{7}}{16}}=\dfrac{8\sqrt{7}}{7}$$ байна.
Тойрогт багтсан дөрвөн өнцөгт тул $$AC\cdot BD=AB\cdot CD+AD\cdot BC\Leftrightarrow$$ $$6\cdot 5=4\cdot\dfrac{45}{8}+AD\cdot 5\Rightarrow AD=\dfrac{3}{2}$$ байна.
$\alpha<180^\circ$ тул $\sin\alpha=\sqrt{1-\Big(\dfrac{9}{16}\Big)^2}=\dfrac{5\sqrt{7}}{16}$ байна. Синусын теоремоор багтаасан тойргийн радиус нь $$R=\dfrac{BC}{2\sin\alpha}=\dfrac{5}{2\cdot\frac{5\sqrt{7}}{16}}=\dfrac{8\sqrt{7}}{7}$$ байна.