Монгол Бодлогын Сан
Эх хэлээрээ суралцаж, эх хэлээрээ мэдлэгээ түгээе.
ЭЕШ 2016 C №36
Огтлогдсон зөв гурвалжин пирамидын дээд суурийн тал 4см, доод суурийн тал 6см урттай ба хажуу ирмэг суурийн хавтгайтай $30^\circ$ өнцөг үүсгэдэг бол уг огтлогдсон пирамидын эзлэхүүнийг олоорой.
A. $\dfrac{38}{3\sqrt3}$
B. $\dfrac{37}{3\sqrt3}$
C. $37\sqrt3$
D. $10\sqrt3$
E. $12\sqrt3$
Бодлогын төрөл: Сонгох
Амжилтын хувь: 25.67%
Бодлогыг оруулсан: Балхүүгийн Батбаясгалан
Бодолт
Заавар: Огтлогдсон пирамидын эзлэхүүн:
$$V=\dfrac13\cdot H\cdot(S_1+\sqrt{S_1S_2}+S_2)$$
$a$ талтай зөв гурвалжны талбай: $$S=\dfrac{\sqrt3 a^2}{4}$$
$a$ талтай зөв гурвалжны оройгоос төв хүртэлх зай: $$d=\dfrac{\frac{a}{2}}{\cos30^\circ}=\dfrac{\sqrt3a}{3}$$
$a$ талтай зөв гурвалжны талбай: $$S=\dfrac{\sqrt3 a^2}{4}$$
$a$ талтай зөв гурвалжны оройгоос төв хүртэлх зай: $$d=\dfrac{\frac{a}{2}}{\cos30^\circ}=\dfrac{\sqrt3a}{3}$$
Бодолт: 
$6$ талтай зөв гурвалжны оройгоос төв хүртэлх зай $AG=\dfrac{\sqrt3\cdot 6}{3}=2\sqrt3$ ба энэ гурвалжнаар сууриа хийсэн хажуу ирмэг нь суурьтай $30^\circ$ өнцөг үүсгэх пирамидын өндөр нь
$$HG=2\sqrt3\cdot\tg30^\circ=2\sqrt3\cdot\dfrac{1}{\sqrt3}=2$$
$4$ талтай зөв гурвалжны оройгоос төв хүртэлх зай $\dfrac{\sqrt3\cdot 4}{3}=\dfrac43\sqrt3$ ба энэ гурвалжнаар сууриа хийсэн хажуу ирмэг нь суурьтай $30^\circ$ өнцөг үүсгэх пирамидын өндөр нь
$$HG_1=\dfrac43\sqrt3\cdot\tg30^\circ=\dfrac{4}{\sqrt3}\cdot\dfrac{1}{\sqrt3}=\dfrac{4}{3}$$
Иймд огтлогдсон пирамидын өндөр нь $HH_1=2-\dfrac43=\dfrac23$ байна.
Сууриудын талбай нь $S_1=\dfrac{\sqrt3\cdot 4^2}{4}=4\sqrt3$, $S_2=\dfrac{\sqrt3\cdot 6^2}{4}=9\sqrt3$ тул эзлэхүүн нь $$V=\dfrac13\cdot\dfrac23\cdot(4\sqrt3+\sqrt{4\sqrt3\cdot9\sqrt3}+9\sqrt3)=\dfrac{38}{3\sqrt3}$$
Сууриудын талбай нь $S_1=\dfrac{\sqrt3\cdot 4^2}{4}=4\sqrt3$, $S_2=\dfrac{\sqrt3\cdot 6^2}{4}=9\sqrt3$ тул эзлэхүүн нь $$V=\dfrac13\cdot\dfrac23\cdot(4\sqrt3+\sqrt{4\sqrt3\cdot9\sqrt3}+9\sqrt3)=\dfrac{38}{3\sqrt3}$$