Монгол Бодлогын Сан

Заавар: Огтлогдсон пирамидын эзлэхүүн: $$V=\dfrac13\cdot H\cdot(S_1+\sqrt{S_1S_2}+S_2)$$

$a$ талтай зөв гурвалжны талбай: $$S=\dfrac{\sqrt3 a^2}{4}$$

$a$ талтай зөв гурвалжны оройгоос төв хүртэлх зай: $$d=\dfrac{\frac{a}{2}}{\cos30^\circ}=\dfrac{\sqrt3a}{3}$$

Бодолт: $9$ талтай зөв гурвалжны оройгоос төв хүртэлх зай $AG=\dfrac{\sqrt3\cdot 9}{3}=3\sqrt3$ ба энэ гурвалжнаар сууриа хийсэн хажуу ирмэг нь суурьтай $30^\circ$ өнцөг үүсгэх пирамидын өндөр нь $$HG=3\sqrt3\cdot\tg30^\circ=3\sqrt3\cdot\dfrac{1}{\sqrt3}=3$$ $3$ талтай зөв гурвалжны оройгоос төв хүртэлх зай $\dfrac{\sqrt3\cdot 3}{3}=\sqrt3$ ба энэ гурвалжнаар сууриа хийсэн хажуу ирмэг нь суурьтай $30^\circ$ өнцөг үүсгэх пирамидын өндөр нь $$HG_1=\sqrt3\cdot\tg30^\circ=\sqrt3\cdot\dfrac{1}{\sqrt3}=1$$ Иймд огтлогдсон пирамидын өндөр нь $HH_1=3-1=2$ байна.

Сууриудын талбай нь $S_1=\dfrac{\sqrt3\cdot 3^2}{4}=\dfrac{9\sqrt3}{4}$, $S_2=\dfrac{\sqrt3\cdot 9^2}{4}=\dfrac{81\sqrt3}{4}$ тул эзлэхүүн нь $$V=\dfrac13\cdot2\cdot\left(\dfrac{9\sqrt3}{4}+\sqrt{\dfrac{9\sqrt3}{4}\cdot\dfrac{81\sqrt3}{4}}+\dfrac{81\sqrt3}{4}\right)=\dfrac{117}{2\sqrt3}$$