Монгол Бодлогын Сан
Эх хэлээрээ суралцаж, эх хэлээрээ мэдлэгээ түгээе.
ЭЕШ 2016 B №36
Огтлогдсон зөв гурвалжин пирамидын дээд суурийн тал 2см, доод суурийн тал 5см урттай ба хажуу ирмэг суурийн хавтгайтай $60^\circ$ өнцөг үүсгэдэг бол уг огтлогдсон пирамидын эзлэхүүнийг олоорой.
A. $\dfrac{26}{4}\sqrt3$
B. $\dfrac{39}{4\sqrt3}$
C. $\dfrac{39}{\sqrt3}$
D. $\dfrac{39}{4}\sqrt3$
E. $18\sqrt3$
Бодлогын төрөл: Сонгох
Амжилтын хувь: 12.24%
Бодлогыг оруулсан: Балхүүгийн Батбаясгалан
Бодолт
Заавар: Огтлогдсон пирамидын эзлэхүүн:
$$V=\dfrac13\cdot H\cdot(S_1+\sqrt{S_1S_2}+S_2)$$
$a$ талтай зөв гурвалжны талбай: $$S=\dfrac{\sqrt3 a^2}{4}$$
$a$ талтай зөв гурвалжны оройгоос төв хүртэлх зай: $$d=\dfrac{\frac{a}{2}}{\cos30^\circ}=\dfrac{\sqrt3a}{3}$$
$a$ талтай зөв гурвалжны талбай: $$S=\dfrac{\sqrt3 a^2}{4}$$
$a$ талтай зөв гурвалжны оройгоос төв хүртэлх зай: $$d=\dfrac{\frac{a}{2}}{\cos30^\circ}=\dfrac{\sqrt3a}{3}$$
Бодолт: 
$5$ талтай зөв гурвалжны оройгоос төв хүртэлх зай $AG=\dfrac{\sqrt3\cdot 5}{3}=\dfrac{5\sqrt3}{3}$ ба энэ гурвалжнаар сууриа хийсэн хажуу ирмэг нь суурьтай $60^\circ$ өнцөг үүсгэх пирамидын өндөр нь
$$HG=\dfrac{5\sqrt3}{3}\cdot\tg60^\circ=\dfrac{5\sqrt3}{3}\cdot\sqrt3=5$$
$2$ талтай зөв гурвалжны оройгоос төв хүртэлх зай $\dfrac{\sqrt3\cdot 2}{3}=\dfrac{2\sqrt3}{3}$ ба энэ гурвалжнаар сууриа хийсэн хажуу ирмэг нь суурьтай $60^\circ$ өнцөг үүсгэх пирамидын өндөр нь
$$HG_1=\dfrac{2\sqrt3}{3}\cdot\tg60^\circ=\dfrac{2\sqrt3}{3}\cdot\sqrt3=2$$
Иймд огтлогдсон пирамидын өндөр нь $HH_1=5-2=3$ байна.
Сууриудын талбай нь $S_1=\dfrac{\sqrt3\cdot 2^2}{4}=\dfrac{4\sqrt3}{4}$, $S_2=\dfrac{\sqrt3\cdot 5^2}{4}=\dfrac{25\sqrt3}{4}$ тул эзлэхүүн нь $$V=\dfrac13\cdot3\cdot\left(\dfrac{4\sqrt3}{4}+\sqrt{\dfrac{4\sqrt3}{4}\cdot\dfrac{25\sqrt3}{4}}+\dfrac{25\sqrt3}{4}\right)=\dfrac{39}{4}\sqrt3$$
Сууриудын талбай нь $S_1=\dfrac{\sqrt3\cdot 2^2}{4}=\dfrac{4\sqrt3}{4}$, $S_2=\dfrac{\sqrt3\cdot 5^2}{4}=\dfrac{25\sqrt3}{4}$ тул эзлэхүүн нь $$V=\dfrac13\cdot3\cdot\left(\dfrac{4\sqrt3}{4}+\sqrt{\dfrac{4\sqrt3}{4}\cdot\dfrac{25\sqrt3}{4}}+\dfrac{25\sqrt3}{4}\right)=\dfrac{39}{4}\sqrt3$$