Монгол Бодлогын Сан

Заавар: Огтлогдсон пирамидын эзлэхүүн: $$V=\dfrac13\cdot H\cdot(S_1+\sqrt{S_1S_2}+S_2)$$

$a$ талтай зөв гурвалжны талбай: $$S=\dfrac{\sqrt3 a^2}{4}$$

$a$ талтай зөв гурвалжны оройгоос төв хүртэлх зай: $$d=\dfrac{\frac{a}{2}}{\cos30^\circ}=\dfrac{\sqrt3a}{3}$$

Бодолт: $5$ талтай зөв гурвалжны оройгоос төв хүртэлх зай $AG=\dfrac{\sqrt3\cdot 5}{3}=\dfrac{5\sqrt3}{3}$ ба энэ гурвалжнаар сууриа хийсэн хажуу ирмэг нь суурьтай $60^\circ$ өнцөг үүсгэх пирамидын өндөр нь $$HG=\dfrac{5\sqrt3}{3}\cdot\tg60^\circ=\dfrac{5\sqrt3}{3}\cdot\sqrt3=5$$ $2$ талтай зөв гурвалжны оройгоос төв хүртэлх зай $\dfrac{\sqrt3\cdot 2}{3}=\dfrac{2\sqrt3}{3}$ ба энэ гурвалжнаар сууриа хийсэн хажуу ирмэг нь суурьтай $60^\circ$ өнцөг үүсгэх пирамидын өндөр нь $$HG_1=\dfrac{2\sqrt3}{3}\cdot\tg60^\circ=\dfrac{2\sqrt3}{3}\cdot\sqrt3=2$$ Иймд огтлогдсон пирамидын өндөр нь $HH_1=5-2=3$ байна.

Сууриудын талбай нь $S_1=\dfrac{\sqrt3\cdot 2^2}{4}=\dfrac{4\sqrt3}{4}$, $S_2=\dfrac{\sqrt3\cdot 5^2}{4}=\dfrac{25\sqrt3}{4}$ тул эзлэхүүн нь $$V=\dfrac13\cdot3\cdot\left(\dfrac{4\sqrt3}{4}+\sqrt{\dfrac{4\sqrt3}{4}\cdot\dfrac{25\sqrt3}{4}}+\dfrac{25\sqrt3}{4}\right)=\dfrac{39}{4}\sqrt3$$