Монгол Бодлогын Сан

Заавар: $\sqrt{10+2\sqrt{21}}=\sqrt{a}+\sqrt{b}$ байхаар $a$, $b$ натурал тоонуудыг олохын тулд $$\left(\sqrt{10+2\sqrt{21}}\right)^2=(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2\Leftrightarrow 10+2\sqrt{2}=(a+b)+2\sqrt{ab}$$ $$\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{c} a+b=10\\ ab=21 \end{array}\right.$$ систем тэгшитгэлийг боддог. Энэ тэгшитгэлийн бүхэл шийдийг $a$, $b$ тоонууд нь $21$-ийн хуваагчид гэдгийг ашиглаад хялбархан тааж олох боломжтой юм.

Бодолт: $21=21\cdot 1=7\cdot 3$ гэж үржигдэхүүнд задарна гэдгээс $a=7$, $b=3$ гэж олоод $\sqrt{10+2\sqrt{21}}=\sqrt{7}+\sqrt{3}$ болохыг шалгахад төвөгтэй биш. Иймд \begin{align*} \dfrac{4}{\sqrt{10+2\sqrt{21}}}&=\dfrac{4}{\sqrt7+\sqrt3}\\ &=\dfrac{4(\sqrt7-\sqrt3)}{(\sqrt7+\sqrt3)(\sqrt7-\sqrt3)}\\ &=\dfrac{4(\sqrt7-\sqrt3)}{(\sqrt7)^2-(\sqrt3)^2}\\ &=\dfrac{4(\sqrt7-\sqrt3)}{7-3}\\ &=\sqrt7-\sqrt3 \end{align*} болох тул $\sqrt7-\sqrt3+\sqrt3=\sqrt7$ байна.