Монгол Бодлогын Сан
Эх хэлээрээ суралцаж, эх хэлээрээ мэдлэгээ түгээе.
Огтлогдсон пирамидын эзлэхүүн
Огтлогдсон зөв гурвалжин пирамидын дээд суурийн тал 3см, доод суурийн тал 7см урттай ба хажуу ирмэг суурийн хавтгайтай $30^\circ$ өнцөг үүсгэдэг бол уг огтлогдсон пирамидын эзлэхүүнийг олоорой.
A. $\dfrac{79}{\sqrt3}$
B. $\dfrac{77}{\sqrt3}$
C. $27\sqrt3$
D. $9\sqrt3$
E. $18\sqrt3$
Бодлогын төрөл: Сонгох
Амжилтын хувь: 30.77%
Бодлогыг оруулсан: Балхүүгийн Батбаясгалан
Бодолт
Заавар: Огтлогдсон пирамидын эзлэхүүн:
$$V=\dfrac13\cdot H\cdot(S_1+\sqrt{S_1S_2}+S_2)$$
$a$ талтай зөв гурвалжны талбай: $$S=\dfrac{\sqrt3 a^2}{4}$$
$a$ талтай зөв гурвалжны оройгоос төв хүртэлх зай: $$d=\dfrac{\frac{a}{2}}{\cos30^\circ}=\dfrac{\sqrt3a}{3}$$
$a$ талтай зөв гурвалжны талбай: $$S=\dfrac{\sqrt3 a^2}{4}$$
$a$ талтай зөв гурвалжны оройгоос төв хүртэлх зай: $$d=\dfrac{\frac{a}{2}}{\cos30^\circ}=\dfrac{\sqrt3a}{3}$$
Бодолт: 
$7$ талтай зөв гурвалжны оройгоос төв хүртэлх зай $AG=\dfrac{\sqrt3\cdot 7}{3}=\dfrac{7\sqrt3}{3}$ ба энэ гурвалжнаар сууриа хийсэн хажуу ирмэг нь суурьтай $30^\circ$ өнцөг үүсгэх пирамидын өндөр нь
$$HG=\dfrac{7\sqrt3}{3}\cdot\tg30^\circ=\dfrac{7\sqrt3}{3}\cdot\dfrac{1}{\sqrt3}=\dfrac73$$
$3$ талтай зөв гурвалжны оройгоос төв хүртэлх зай $\dfrac{\sqrt3\cdot 3}{3}=\sqrt3$ ба энэ гурвалжнаар сууриа хийсэн хажуу ирмэг нь суурьтай $30^\circ$ өнцөг үүсгэх пирамидын өндөр нь
$$HG_1=\sqrt3\cdot\tg30^\circ=\sqrt3\cdot\dfrac{1}{\sqrt3}=1$$
Иймд огтлогдсон пирамидын өндөр нь $HH_1=\dfrac73-1=\dfrac43$ байна.
Сууриудын талбай нь $S_1=\dfrac{\sqrt3\cdot 3^2}{4}=\dfrac{9\sqrt3}{4}$, $S_2=\dfrac{\sqrt3\cdot 7^2}{4}=\dfrac{49\sqrt3}{4}$ тул эзлэхүүн нь $$V=\dfrac13\cdot\dfrac43\cdot\left(\dfrac{9\sqrt3}{4}+\sqrt{\dfrac{9\sqrt3}{4}\cdot\dfrac{49\sqrt3}{4}}+\dfrac{49\sqrt3}{4}\right)=\dfrac{79}{\sqrt3}$$
Сууриудын талбай нь $S_1=\dfrac{\sqrt3\cdot 3^2}{4}=\dfrac{9\sqrt3}{4}$, $S_2=\dfrac{\sqrt3\cdot 7^2}{4}=\dfrac{49\sqrt3}{4}$ тул эзлэхүүн нь $$V=\dfrac13\cdot\dfrac43\cdot\left(\dfrac{9\sqrt3}{4}+\sqrt{\dfrac{9\sqrt3}{4}\cdot\dfrac{49\sqrt3}{4}}+\dfrac{49\sqrt3}{4}\right)=\dfrac{79}{\sqrt3}$$