Монгол Бодлогын Сан

Заавар: $x>-1$, $(1+x)^n>1+nx$ ашиглан $\dfrac{x_n}{x_{n+1}}>1$ гэж харуул.

Бодолт: $$\dfrac{x_n}{x_{n+1}}=\dfrac{\left(1+\dfrac1n\right)^{n+1}}{\left(1+\dfrac1{n+1}\right)^{n+2}}>\dfrac{\left(1+\dfrac1n\right)^{n+1}}{\left(1+\dfrac1{n+1}\right)^{n+1}}\cdot\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{n+1}}=$$ $$=\left(1+\dfrac{1}{n(n+2)}\right)^{n+1}\cdot\dfrac{n+1}{n+2}>\left(1+\dfrac{n+1}{n(n+2)}\right)\cdot\dfrac{n+1}{n+2}=$$ $$=\dfrac{(n^2+3n+1)(n+1)}{n(n+2)^2}=\dfrac{n^3+4n^2+4n+1}{n^3+4n^2+4n}>1$$

$x_n$ нь монотон буурах доороосоо зааглагдсан дараалал тул хязгаартай. Энэ хязгаар нь $$\lim\limits_{n\to\infty}x_n=\lim\limits_{n\to\infty}\left(1+\dfrac1n\right)^{n+1}=\lim\limits_{n\to\infty}\left(1+\dfrac1n\right)^{n}=e$$ байна.