Монгол Бодлогын Сан
Эх хэлээрээ суралцаж, эх хэлээрээ мэдлэгээ түгээе.
Инъектив функцийн чанар
$f\colon X\to Y$ инъектив функц бол $f(A\cap B)=f(A)\cap f(B)$ гэж батал.
Бодлогын төрөл: Уламжлалт
Бодлогыг оруулсан: Балхүүгийн Батбаясгалан
Бодолт
Заавар: $$X=Y\Leftrightarrow X\subseteq Y, Y\subseteq X$$
Бодолт: $A\cap B\subseteq A, B\Rightarrow f(A\cap B)\subseteq f(A), f(B)$ тул
$$f(A\cap B)\subseteq f(A)\cap f(B)$$
байна.
$f(A)\cap f(B)\subseteq f(A\cap B)$ гэж харуулъя. $\forall y\in f(A)\cap f(B)$-ийн хувьд $y\in f(A)$, $y\in f(B)$ байна. $$y\in f(A)\Rightarrow\exists x_1\in A\colon y=f(x_1)$$ $$y\in f(B)\Rightarrow\exists x_2\in B\colon y=f(x_2)$$ Нөгөө талаас $f$ инкъектив тул $f(x_1)=f(x_2)\Rightarrow x_1=x_2$ тул $x_1=x_2\in A\cap B$. Иймд $$y=f(x_1)\in f(A\cap B).$$ Өөрөөр хэлбэл $f(A)\cap f(B)$ олонлогийн дурын элемент нь $f(A\cap B)$ олонлогийн элемент болж байгаа тул $$f(A)\cap f(B)\subseteq f(A\cap B)$$ болж байна.
Иймд $f(A\cap B)=f(A)\cap f(B)$.
$f(A)\cap f(B)\subseteq f(A\cap B)$ гэж харуулъя. $\forall y\in f(A)\cap f(B)$-ийн хувьд $y\in f(A)$, $y\in f(B)$ байна. $$y\in f(A)\Rightarrow\exists x_1\in A\colon y=f(x_1)$$ $$y\in f(B)\Rightarrow\exists x_2\in B\colon y=f(x_2)$$ Нөгөө талаас $f$ инкъектив тул $f(x_1)=f(x_2)\Rightarrow x_1=x_2$ тул $x_1=x_2\in A\cap B$. Иймд $$y=f(x_1)\in f(A\cap B).$$ Өөрөөр хэлбэл $f(A)\cap f(B)$ олонлогийн дурын элемент нь $f(A\cap B)$ олонлогийн элемент болж байгаа тул $$f(A)\cap f(B)\subseteq f(A\cap B)$$ болж байна.
Иймд $f(A\cap B)=f(A)\cap f(B)$.