Монгол Бодлогын Сан
Эх хэлээрээ суралцаж, эх хэлээрээ мэдлэгээ түгээе.
Эйлер-Маклорены тогтмол
$x_n=1+\dfrac12+\dots+\dfrac1n-\ln n$ байг. $n\ge 2$
- $x_{n+1}-x_n<0$ гэж батал.
- $x_n$ доороосоо зааглагдсан гэж харуул.
- $\lim\limits_{n\to\infty} x_n$ хязгаар оршихыг харуул. $\lim\limits_{n\to\infty} x_n=\gamma=0.5772156649\dots$ тоог Эйлер-Маклорены тогтмол гэдэг. Эндээс $$1+\dfrac12+\dots+\dfrac1n\approx\ln n+\gamma.$$
Бодлогын төрөл: Уламжлалт
Бодлогыг оруулсан: Балхүүгийн Батбаясгалан
Бодолт
Заавар: $$x_{n+1}-x_n=\dfrac{1}{n+1}-\ln(n+1)+\ln n=\dfrac{1}{n+1}-\ln\left(1+\dfrac1n\right)<0$$
гэж харуулах шаардлагатай.
Бодолт:
- $$\dfrac{1}{n+1}-\ln\left(1+\dfrac1n\right)<0\Leftrightarrow 1<\ln\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^{n+1}$$ $$\ln e<\ln\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^{n+1}\Leftrightarrow e<\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^{n+1}$$ сүүлийн тэнцэтгэл биш нь $x_n=\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^{n+1}$ нь буурдаг хязгаар нь $e$ байх дараалал гэдгээс шууд гарна.
Сорилго
Энэ бодлого ямар нэг сорилгод ороогүй.