Монгол Бодлогын Сан

Эх хэлээрээ суралцаж, эх хэлээрээ мэдлэгээ түгээе.

Бодлого №13

Let $A=a\begin{pmatrix} 1 & -1\\ 1 & \hfill 1 \end{pmatrix}$ $(a>0)$ and $I=\begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ satisfy $A^4+I=\begin{pmatrix} 0 & 0\\ 0 & 0 \end{pmatrix}$ .

Answer the following questions and write your answers in the boxes provided.

Find $a$ .
Find the minimum positive integer $n$ such that $A^n\begin{pmatrix} 0\\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1\\ 0 \end{pmatrix}.$
Find $A^{2014}$ .

Бодлогын төрөл: Уламжлалт

Бодлогыг оруулсан: Балхүүгийн Батбаясгалан

Бодолт

Заавар:

$A=a\begin{pmatrix} 1 & -1\\ 1 & \hfill 1 \end{pmatrix}$

$(a>0)$ ба

$I=\begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ нь

$A^4+I=\begin{pmatrix} 0 & 0\\ 0 & 0 \end{pmatrix}$ байх матрицууд байг.

Дараах асуултуудад хариул.

$a$ -г ол.
$A^n\begin{pmatrix} 0\\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1\\ 0 \end{pmatrix}$ байх хамгийн бага $n$ натурал тоог ол.
$A^{2014}$ -г ол.

Бодолт:

Бодлогын нөхцлөөс $A^4=-I$ тул $(\det A)^4=1$ буюу $[a^2\cdot(1\cdot1-(-1)\cdot1)]^4=1$ байна. Эндээс $a>0$ тул $a=\dfrac{\sqrt2}{2}$ байна.
$\begin{align*} A\begin{pmatrix} 0\\ 1 \end{pmatrix}&= \dfrac{\sqrt2}{2}\begin{pmatrix} 1 & -1\\ 1 & \hfill 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0\\ 1 \end{pmatrix}\\ &=\dfrac{\sqrt2}{2}\begin{pmatrix} 1\cdot 0+(-1)\cdot1\\ 1\cdot 0+1\cdot1 \end{pmatrix}\\ &=\dfrac{\sqrt2}{2}\begin{pmatrix} -1\\ \hfill 1 \end{pmatrix}\\ A^2\begin{pmatrix} 0\\ 1 \end{pmatrix}&=A\cdot A\begin{pmatrix} 0\\ 1 \end{pmatrix}\\ &=\dfrac{\sqrt2}{2}\begin{pmatrix} 1 & -1\\ 1 & \hfill 1 \end{pmatrix}\cdot\dfrac{\sqrt2}{2}\begin{pmatrix} -1\\ \hfill 1 \end{pmatrix}\\ &=\dfrac12\begin{pmatrix} 1\cdot(-1)+(-1)\cdot1\\ 1\cdot(-1)+1\cdot 1 \end{pmatrix}\\ &=\begin{pmatrix} -1\\ \hfill 0 \end{pmatrix} \end{align*}$ $A^4=-I$ тул $A^6\begin{pmatrix} 0\\ 1 \end{pmatrix}=A^4 A^2\begin{pmatrix} 0\\ 1 \end{pmatrix}=-I\begin{pmatrix} -1\\ \hfill 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1\\ 0 \end{pmatrix}$ байна.
$A^4=-I$ тул $A^{2014}=A^{2012} A^2=(A^4)^{503} A^2=$ $=(-I)^{503} A^2=-A^2$ байна. Нөгөө талаас $\begin{align*} A^2&=\dfrac{\sqrt2}{2}\begin{pmatrix} 1 & -1\\ 1 & \hfill 1 \end{pmatrix}\dfrac{\sqrt2}{2}\begin{pmatrix} 1 & -1\\ 1 & \hfill 1 \end{pmatrix}\\ &=\dfrac{1}{2}\begin{pmatrix} 1\cdot 1+(-1)\cdot1 & 1\cdot(-1)+(-1)\cdot 1\\ 1\cdot 1+1\cdot1 & 1\cdot(-1)+1\cdot 1\\ \end{pmatrix}\\ &=\begin{pmatrix} 0 & -1\\ 1 & \hfill 0 \end{pmatrix} \end{align*}$ тул $A^{2014}=-A^2=\begin{pmatrix} \hfill 0 & 1\\ -1 & 0 \end{pmatrix}$ байна.

Сорилго

Монбушо 2015, Техникийн коллеж алгебр

Монгол Бодлогын Сан

Бодлого №13

Бодолт

Сорилго

Түлхүүр үгс

Санал хүсэлт: