Монгол Бодлогын Сан

Эх хэлээрээ суралцаж, эх хэлээрээ мэдлэгээ түгээе.

$1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,5,\dots$ дараалал өгөгдөв.

Энэ дарааллын 60-р гишүүн $N$ бол $N=\fbox{ab}$ байна.
$N$ тоо 60-р гишүүн хүртэл (60-р гишүүнийг оролцуулаад) $\fbox{c}$ удаа давтагдсан байна.
Эхний 60 гишүүний нийлбэр $\fbox{def}$

ab = 11

c = 5

def = 440

Бодлогын төрөл: Нөхөх

Амжилтын хувь: 22.22%

Заавар:

$n$-р гишүүн $k$-аас их байхын тулд $1+2+\cdots+k< n$ байх ёстой. $k+1$-ээс хэтрэхгүй байхын тулд $n\le 1+2+\cdots+k+1$ байх ёстой.
$11$ байх сүүлчийн дугаар нь $1+2+\dots+11$ байна.
$1^2+2^2+\dots+n^2=\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ томьёог ашиглаад хялбархан олж болно.

Бодолт:

$a_{60}=N\Leftrightarrow N-1< a_{60}\le N$ тул $$1+2+\dots+N-1< 60\le 1+2+\dots+N$$ байх $N$-г олох ёстой. Эндээс $$\dfrac{(N-1)N}{2}<60\le\dfrac{N(N+1)}{2}$$ ба шууд шалгаж үзэх замаар $N=11$ болохыг олоход төвөгтэй биш.
$10$ байх сүүлийн гишүүний дугаар $1+2+\cdots+10=55$. Иймд $60-55=5$ гишүүн $11$-той тэнцүү байна.
Эхний 60 гишүүний нийлбэр нь $$1^2+2^2+3^2+\cdots+10^2+11\cdot 5=\dfrac{10(10+1)(2\cdot10+1)}{6}+55=440$$ байна.

Нэмэлт: Энэ бодлогыг уг дарааллын эхний 60 гишүүнийг жагсааж бичих замаар хялбархан бодож болно!