Монгол Бодлогын Сан

Заавар: $ABC$ гурвалжны дотор орших $M$ цэгээс $BC$, $CA$, $AB$ талуудад татсан перпендикулярын сууриуд нь харгалзан $A_1$, $B_1$, $C_1$ ба $MA_1=d_1$, $MB_1=d_2$, $MC_1=d_3$ бол $$\begin{align*} S_{\triangle ABC}&=S_{\triangle ABM}+S_{\triangle BCM}+S_{\triangle CAM}\\[2mm] &=\dfrac{AB\cdot MC_1+BC\cdot MA_1+CA\cdot MB_1}{2}\\[2mm] &=\dfrac{BC\cdot d_1+CA\cdot d_2+AB\cdot d_3}{2} \end{align*}$$ байдаг.

Бодолт: Багтаасан тойргийн төвийг $O$, өндрүүдийн суурийг $A_1,B_1,C_1$, багтаасан тойргийн төвөөс талууд хүртэлх зайг $d_1,d_2,d_3$ гэе. $AB_1=AB\cos\alpha$, $AC_1=AC\cos\alpha$ ба $A$ орой дахь өнцөг ерөнхий тул $\triangle ABC\sim\triangle AB_1C_1$ байна. Иймд $B_1C_1=BC\cos\alpha$. Үүнтэй төстэйгээр $A_1B_1=AB\cos\gamma$, $A_1C_1=AC\cos\beta$. Мөн $\angle BOC=2\alpha$ тул $d_1=R\cos\alpha$ болно. Мөн адил шалтгаанаар $d_2=R\cos\beta$, $d_3=R\cos\gamma$. $$S=\dfrac{AB\cdot d_1+AC\cdot d_2+BC\cdot d_3}{2}=$$ $$=\dfrac{AB\cdot R\cos\gamma+AC\cdot R\cos\beta+BC\cdot R\cos\alpha}{2}=$$ $$=\dfrac{R(A_1B_1+A_1C_1+B_1C_1)}{2}=\dfrac{4\cdot 10}{2}=20$$