Монгол Бодлогын Сан

Заавар: $(a;b)$ цэгт төвтэй $r$ радуистай тойргийн тэгшитгэл: $$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$$ $(x_0;y_0)$ цэгээс $ax+by+c=0$ шулуун хүртэлх зай: $$d=\dfrac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$$

Бодолт: Иймд $C\colon (x-5)^2+(y-4)^2=6^2$ нь $(5;4)$ төвтэй $6$ радиустай тойргийн тэгшитгэл байна.

$\ell_c\colon 3x+4y=c$ гэе. $A$ нь тойргийн цэг тул $(x-5)^2+(y-4)^2=36$ байна. Өөрөөр хэлбэл $A$ цэгийн координат нь $\left\{\begin{array}{c}3x+4y=c\\(x-5)^2+(y-4)^2=36\end{array}\right.$ системийн шийд байна. Иймд бидний зорилго энэ систем шийдтэй байхаар $c$-ийн хамгийн их утгыг олох болно. $c$-г ихэсгэхэд $\ell_c$ шулуун $y$ тэнхлэгийн дагуу параллелиар зөөгдөх бөгөөд $\ell_c$ шулуун $C$ тойргийг шүргэх үед $c$ нь боломжтой хамгийн их утгаа авна.

$3x+4y-c=0$ шулуун ба $C$ шүргэлцэх тул $$r=d=\dfrac{|3\cdot 5+4\cdot5-c|}{\sqrt{3^2+4^2}}=\dfrac{|35-c|}{5}=6\Rightarrow 30=|35-c|.$$ Эндээс $c_1=5$, $c_2=65$ болох тул ХБУ нь $5$, ХИУ нь $65$ байна.