Монгол Бодлогын Сан
Эх хэлээрээ суралцаж, эх хэлээрээ мэдлэгээ түгээе.
Бүтэн магадлалын томьёо
I уутанд 6 улаан, 4 цагаан, II уутанд 2 улаан, 3 цагаан бөмбөг байжээ. Таамгаар сонгосон нэг уутнаас нэгэн зэрэг хоёр бөмбөгийг таамгаар гаргаж ирэхэд хоёулаа улаан байх магадлалыг ол.
A. $\dfrac{9}{65}$
B. $\dfrac{19}{60}$
C. $\dfrac{5}{12}$
D. $\dfrac{3}{20}$
E. $\dfrac{13}{60}$
Бодлогын төрөл: Сонгох
Амжилтын хувь: 32.26%
Бодлогыг оруулсан: Балхүүгийн Батбаясгалан
Бодолт
Заавар:
$A$ үзэгдэл явагдсан байх үед $B$ үзэгдэл явагдах магадлалыг $P(B|A)$ гэж тэмдэглэдэг. Үүнийг нөхцөлт магадлал гэх бөгөөд $$P(B|A)=\dfrac{P(AB)}{P(A)}$$ байдаг. Эндээс $P(AB)=P(A)\cdot P(B|A)$ болно. Тэгш хэмтэй тул $$P(AB)=P(B)\cdot P(A|B)\Rightarrow P(A|B)=\dfrac{P(A)\cdot P(B|A)}{P(B)}$$ гэсэн нэг нөхцөлт магадлалыг нөгөөгөөр илэрхийлэх томъёо гарч байна. Үүнийг Байесийн томъёо гэдэг.
Хэрвээ $A\cap B=\varnothing$ ($AB=A\cap B$) бол $A,B$ үзэгдлүүдийг нийцгүй үзэгдлүүд гэдэг. Манай бодлогын I ба II уутнаас бөмбөг гаргасан байх үзэгдлүүд нь нэгэн зэрэг явагдах боломжгүй тул нийцгүй үзэгдлүүд байна. Нийцгүй үзэгдлүүдийн хувьд $P(A\cup B)=P(A)+P(B)$ байна. Хос хосоороо нийцгүй $A_1, A_2,\dots, A_n$ үзэгдлүүдийн хувьд $$\Omega=A_1\cup A_2\cup\dots\cup A_n$$ бол ямар ч $C$ үзэгдлийн хувьд $$P(C)=P(A_1)\cdot P(C|A_1)+P(A_2)\cdot P(C|A_2)+\cdots+P(A_n)\cdot P(C|A_n)$$ байна үүнийг бүтэн магадлалын томъёо гэдэг. Энд $\Omega$ нь магадлалын огторгуй.
Хэрвээ $A\cap B=\varnothing$ ($AB=A\cap B$) бол $A,B$ үзэгдлүүдийг нийцгүй үзэгдлүүд гэдэг. Манай бодлогын I ба II уутнаас бөмбөг гаргасан байх үзэгдлүүд нь нэгэн зэрэг явагдах боломжгүй тул нийцгүй үзэгдлүүд байна. Нийцгүй үзэгдлүүдийн хувьд $P(A\cup B)=P(A)+P(B)$ байна. Хос хосоороо нийцгүй $A_1, A_2,\dots, A_n$ үзэгдлүүдийн хувьд $$\Omega=A_1\cup A_2\cup\dots\cup A_n$$ бол ямар ч $C$ үзэгдлийн хувьд $$P(C)=P(A_1)\cdot P(C|A_1)+P(A_2)\cdot P(C|A_2)+\cdots+P(A_n)\cdot P(C|A_n)$$ байна үүнийг бүтэн магадлалын томъёо гэдэг. Энд $\Omega$ нь магадлалын огторгуй.
Бодолт: $A$---I уутнаас бөмбөг гаргасан байх үзэгдэл,
$B$---II уутнаас бөмбөг гаргасан байх үзэгдэл,
$C$---гарч ирсэн 2 бөмбөг хоёулаа улаан байх үзэгдэл
гэвэл $A\cup B=\Omega$, $AB=\varnothing$ байна.
$A_1=A$, $A_2=B$ гээд бүтэн магадлалын томъёо ашиглавал $$P(C)=P(A)\cdot P(C|A)+P(B)\cdot P(C|B)$$ болно. Иймд $$P(C)=\frac12\cdot\frac{C_6^2}{C_{10}^2}+\frac12\cdot\frac{C_2^2}{C_5^2}$$ буюу $$P(C)=\frac12\cdot\frac{15}{45}+\frac12\cdot\frac{1}{10}=\frac{13}{60}.$$
$A_1=A$, $A_2=B$ гээд бүтэн магадлалын томъёо ашиглавал $$P(C)=P(A)\cdot P(C|A)+P(B)\cdot P(C|B)$$ болно. Иймд $$P(C)=\frac12\cdot\frac{C_6^2}{C_{10}^2}+\frac12\cdot\frac{C_2^2}{C_5^2}$$ буюу $$P(C)=\frac12\cdot\frac{15}{45}+\frac12\cdot\frac{1}{10}=\frac{13}{60}.$$