Монгол Бодлогын Сан

Эх хэлээрээ суралцаж, эх хэлээрээ мэдлэгээ түгээе.

$R$ радиустай бөмбөрцөгт багтсан хамгийн их эзлэхүүнтэй цилиндрийн хажуу гадаргууг ол.

$\dfrac{4\sqrt2\pi R^2}{3}$ B.

$\dfrac{\pi R^2}{\sqrt2}$ C.

$\dfrac{\pi R^2}{\sqrt3}$ D.

$\dfrac{\pi R^2}{\sqrt3}$ E.

$\pi R^2$

Бодлогын төрөл: Сонгох

Амжилтын хувь: 30.77%

Заавар:

$\theta$ ба

$R$ -ээр хажуу гадаргуу ба эзлэхүүнийг илэрхийл.

Бодолт: Цилиндрийн байгуулагч болон төвийг суурийн тойргийн цэгтэй холбоход үүсэх хэрчим хоёрын хоорондох өнцгийг

$\theta$ гэвэл суурийн радуис нь

$r=R\sin\theta$ , өндөр нь

$h=2R\cos\theta$ байна.

Эзлэхүүн нь

$V=S_{суурь}\cdot h=\pi r^2h=4\pi R^3\sin^2\theta\cos\theta$

$c=\cos^2\theta$ гэвэл

$V(c)=4\pi R^3(1-c^2)c,\ 0\le c\le 1$ байна.

$V^\prime(c)=0\Rightarrow 1-3c^2=0\Rightarrow c=\dfrac{\sqrt3}{3}$ үед ХИУ-тай. Энэ үед

$\sin\theta=\sqrt{1-c^2}=\dfrac{\sqrt6}{3}$ байна. Суурийн периметр нь

$2\pi r=2\pi R\sin\theta$ тул хажуу гадаргуугийн талбай нь

$S_{\text{хг}}=4\pi R^2\sin\theta\cos\theta=4\pi R^2\cdot\dfrac{\sqrt6}{3}\cdot\dfrac{\sqrt3}{3}=\dfrac{4\sqrt2\pi R^2}{3}$ байна.