Монгол Бодлогын Сан

Заавар: Гурвалжны медиан: Гурвалжны гурван медиан нэг цэгт огтлолцоно. Энэ цэг нь гурвалжны хүндийн төв болох бөгөөд $$AG:GA_1=BG:GB_1=CG:GC_1=2:1$$ байна. Медианы урт нь: $$m_a^2=\dfrac{2(b^2+c^2)-a^2}{4},\quad m_b^2=\dfrac{2(a^2+c^2)-b^2}{4},\quad m_c^2=\dfrac{2(a^2+b^2)-c^2}{4}.$$

Бодолт: $AD=AC/2=4$. Косинусын теоремоор $$AD^2=AB^2+BD^2-2\cdot AB\cdot BD\cdot\cos 45^\circ\Rightarrow$$ $$4^2=3^2+BD^2-2\cdot 3\cdot BD\cdot\left(-\frac{1}{4}\right)\Rightarrow 2BD^2+3BD-14=0.$$ Эндээс $$BD=\dfrac{-3\pm\sqrt{3^2-4\cdot2\cdot(-14)}}{2\cdot 2}=\dfrac{-3\pm11}{4}$$ $BD>0$ тул $BD=\dfrac{-3+11}{4}=2$. $m_b^2=\dfrac{2(a^2+c^2)-b^2}{4}$ тул $$a^2=\dfrac{4m_b^2+b^2-2c^2}{2}=\dfrac{4\cdot2^2+8^2-2\cdot 3^2}{2}=31$$ Иймд $BC=a=\sqrt{31}$.