Монгол Бодлогын Сан

Эх хэлээрээ суралцаж, эх хэлээрээ мэдлэгээ түгээе.

$x=\dfrac{1}{\sqrt5-\sqrt3}$, $y=\dfrac{1}{\sqrt5+\sqrt3}$ бол $x^3+x^2y+xy^2+y^3=\fbox{a}\sqrt5$ (3 оноо)
$a=\dfrac{3+\sqrt5}{2}$ бол $a+\dfrac1a=\fbox{b}$ (1 оноо), $a^2+\dfrac{1}{a^2}=\fbox{c}$ (2 оноо), $a^3+\dfrac{1}{a^3}=\fbox{de}$ (2 оноо)

a = 4

b = 3

c = 7

de = 18

Бодлогын төрөл: Нөхөх

Амжилтын хувь: 33.65%

Заавар:

Олох илэрхийллээ $x+y$, $x\cdot y$-ээр илэрхийл.
$a^n+\dfrac{1}{a^n}$ хэлбэрийн илэрхийлийг $n$-ийн бага зэргүүдээр илэрхийлж болдог.

Бодолт:

$x+y=\dfrac{\sqrt5+\sqrt3+\sqrt5-\sqrt3}{(\sqrt5-\sqrt3)(\sqrt5+\sqrt3)}=\sqrt5$, $x\cdot y=\dfrac{1}{(\sqrt5-\sqrt3)(\sqrt5+\sqrt3)}=\dfrac12$ тул $$x^3+x^2y+xy^2+y^3=(x+3)^3-2xy(x+y)=$$ $$=(\sqrt5)^3-2\cdot\dfrac12\cdot\sqrt5=4\sqrt5$$
$\dfrac1a=\dfrac{2}{3+\sqrt5}=\dfrac{2(3-\sqrt5)}{(3+\sqrt5)(3-\sqrt5)}=\dfrac{3-\sqrt5}{2}$ байна. Иймд $$a+\dfrac1a=\dfrac{3-\sqrt5}{2}+\dfrac{3+\sqrt5}{2}=3$$ байна. $$a^2+\dfrac{1}{a^2}=\Big(a+\dfrac1a\Big)^2-2=3^2-2=7$$ Түүнчлэн $$a^3+\dfrac{1}{a^3}=\Big(a+\dfrac1a\Big)^3-3\Big(a+\dfrac1a\Big)=3^3-3\cdot 3=18$$ байна.