Монгол Бодлогын Сан
Эх хэлээрээ суралцаж, эх хэлээрээ мэдлэгээ түгээе.
Бодлого №26
$ABC$ гурвалжинд $BD$ медиан татжээ. $AB=2$, $AC=8$, $\cos\measuredangle ABD=-\dfrac14$ бол $BC$ талын уртыг ол.
A. $4\sqrt3$
B. $\sqrt{46}$
C. $5$
D. $6$
E. $3\sqrt{5}$
Бодлогын төрөл: Сонгох
Амжилтын хувь: 26.09%
Бодлогыг оруулсан: Балхүүгийн Батбаясгалан
Бодолт
Заавар: Гурвалжны медиан:
Гурвалжны гурван медиан нэг цэгт огтлолцоно. Энэ цэг нь гурвалжны хүндийн төв болох бөгөөд $$AG:GA_1=BG:GB_1=CG:GC_1=2:1$$ байна. Медианы урт нь:
$$m_a^2=\dfrac{2(b^2+c^2)-a^2}{4},\quad m_b^2=\dfrac{2(a^2+c^2)-b^2}{4},\quad m_c^2=\dfrac{2(a^2+b^2)-c^2}{4}.$$
Бодолт: $AD=AC/2=4$. Косинусын теоремоор
$$AD^2=AB^2+BD^2-2\cdot AB\cdot BD\cdot\cos 45^\circ\Rightarrow$$ $$4^2=2^2+BD^2-2\cdot 2\cdot BD\cdot\left(-\frac{1}{4}\right)\Rightarrow BD^2+BD-12=0.$$ Эндээс $$BD=\dfrac{-1\pm\sqrt{1^2-4\cdot1\cdot(-12)}}{2\cdot 1}=\dfrac{-1\pm7}{2}$$
$BD>0$ тул $BD=\dfrac{-1+7}{2}=3$. $m_b^2=\dfrac{2(a^2+c^2)-b^2}{4}$ тул $$a^2=\dfrac{4m_b^2+b^2-2c^2}{2}=\dfrac{4\cdot3^2+8^2-2\cdot 2^2}{2}=46$$ Иймд $BC=a=\sqrt{46}$.
Сорилго
ЭЕШ-ийн сорилго Б
Дунд сургуулийн геометр
Косинусын теорем
Косинусын теорем тестийн хуулбар
ЭЕШ сорилго №3Б
Синус, косинусын теорем