Монгол Бодлогын Сан

Эх хэлээрээ суралцаж, эх хэлээрээ мэдлэгээ түгээе.

$x=\dfrac{1}{\sqrt7-\sqrt5}$, $y=\dfrac{1}{\sqrt7+\sqrt5}$ бол $x^3+x^2y+xy^2+y^3=\fbox{a}\sqrt7$ (3 оноо)
$a=\dfrac{\sqrt6+\sqrt2}{2}$ бол $a+\dfrac1a=\sqrt{\fbox{b}}$ (1 оноо), $a^2+\dfrac{1}{a^2}=\fbox{c}$ (2 оноо), $a^3+\dfrac{1}{a^3}=\fbox{d}\sqrt{\fbox{e}}$ (2 оноо)

a = 6

b = 6

c = 4

de = 36

Бодлогын төрөл: Нөхөх

Амжилтын хувь: 19.32%

Заавар:

Олох илэрхийллээ $x+y$, $x\cdot y$-ээр илэрхийл.
$a^n+\dfrac{1}{a^n}$ хэлбэрийн илэрхийлийг $n$-ийн бага зэргүүдээр илэрхийлж болдог.

Бодолт:

$x+y=\dfrac{\sqrt7+\sqrt5+\sqrt7-\sqrt5}{(\sqrt7-\sqrt5)(\sqrt7+\sqrt5)}=\sqrt7$, $x\cdot y=\dfrac{1}{(\sqrt7-\sqrt5)(\sqrt7+\sqrt5)}=\dfrac12$ тул $$x^3+x^2y+xy^2+y^3=(x+3)^3-2xy(x+y)=$$ $$=(\sqrt7)^3-2\cdot\dfrac12\cdot\sqrt7=6\sqrt7$$
$\dfrac1a=\dfrac{2}{\sqrt6+\sqrt2}=\dfrac{2(\sqrt6-\sqrt2)}{(\sqrt6+\sqrt2)(\sqrt6-\sqrt2)}=\dfrac{\sqrt6-\sqrt2}{2}$ байна. Иймд $$a+\dfrac1a=\dfrac{\sqrt6+\sqrt2}{2}+\dfrac{\sqrt6-\sqrt2}{2}=\sqrt{6}$$ байна. $$a^2+\dfrac{1}{a^2}=\Big(a+\dfrac1a\Big)^2-2=(\sqrt6)^2-2=4$$ Түүнчлэн $$a^3+\dfrac{1}{a^3}=\Big(a+\dfrac1a\Big)^3-3\Big(a+\dfrac1a\Big)=(\sqrt6)^3-3\cdot\sqrt6=3\sqrt6$$ байна.