Монгол Бодлогын Сан
Эх хэлээрээ суралцаж, эх хэлээрээ мэдлэгээ түгээе.
ЭЕШ 2017 D №37
$A=\dfrac{20}{\sqrt{5}+\sqrt{2}-\sqrt{7}}$ ба $B=5+2\sqrt{10}+\sqrt{70}$ тоонуудыг жишье. Бутархайн хуваарийг иррационалаас чөлөөлбөл $A=\fbox{a}\sqrt2+\fbox{b}\sqrt{5}+\sqrt{\fbox{cd}}$ тул $\fbox{a}\sqrt2+\fbox{b}\sqrt{5}$ ба $5+2\sqrt{10}$ тоонуудыг жишихэд хангалттай. Хоёр тоогоо квадрат зэрэгт дэвшүүлбэл ${\fbox{ef}}+20\sqrt{10}$ ба $\fbox{gh}+20\sqrt{10}$ тул $A>B$ байна.
ab = 52
cd = 70
ef = 70
gh = 65
Бодлогын төрөл: Нөхөх
Амжилтын хувь: 37.18%
Бодлогыг оруулсан: Балхүүгийн Батбаясгалан
Бодолт
Заавар: $A$ тооны хүртвэр ба хуваарийг $\sqrt{5}+\sqrt{2}+\sqrt{7}$ тоогоор үржүүлсний дараа хуваарийг иррационалаас чөлөөлөхөд илүү амар байна.
Бодолт: \begin{align*}
A&=\dfrac{20}{\sqrt{5}+\sqrt{2}-\sqrt{7}}^{(\sqrt{5}+\sqrt{2}+\sqrt{7}}\\
&=\dfrac{20(\sqrt{5}+\sqrt{2}+\sqrt{7})}{(\sqrt{5}+\sqrt{2}-\sqrt{7})(\sqrt{5}+\sqrt{2}+\sqrt{7})}\\
&=\dfrac{20(\sqrt{5}+\sqrt{2}+\sqrt{7})}{(\sqrt5+\sqrt2)^2-(\sqrt{7})^2}\\
&=\dfrac{20(\sqrt{5}+\sqrt{2}+\sqrt{7})}{2\sqrt{5}\sqrt{2}}^{(\sqrt{5}\sqrt{2}}\\
&=5\sqrt2+2\sqrt5+\sqrt{70}
\end{align*}
Иймд бид $5\sqrt2+2\sqrt5$ ба $5+2\sqrt{10}$ тоонуудыг жишихэд хангалттай. Хоёул эерэг тоонууд тул квадратуудыг нь жишье. Тэдгээр нь
$70+20\sqrt{10}$ ба $65+20\sqrt{10}$ тул $A>B$ байна.