Монгол Бодлогын Сан
Эх хэлээрээ суралцаж, эх хэлээрээ мэдлэгээ түгээе.
ЭЕШ 2017 D №33
$1\cdot 2+2\cdot 2^2+3\cdot 2^3+\cdots+100\cdot 2^{100}$ нийлбэрийн утга аль нь вэ?
A. $1+99\cdot 2^{101}$
B. $2+100\cdot 2^{100}$
C. $2+99\cdot 2^{102}$
D. $2+99\cdot 2^{100}$
E. $2+99\cdot 2^{101}$
Бодлогын төрөл: Сонгох
Амжилтын хувь: 24.44%
Бодлогыг оруулсан: Балхүүгийн Батбаясгалан
Бодолт
Заавар: $S=1\cdot 2+2\cdot 2^2+3\cdot 2^3+\cdots+100\cdot 2^{100}$ гээд $2S-S$ илэрхийллийг хялбарчил.
Бодолт: \begin{align*}
2S-S&=1\cdot 2^2+2\cdot 2^3+3\cdot 2^4+\cdots+100\cdot 2^{101}-(1\cdot 2+2\cdot 2^2+3\cdot 2^3+\cdots+100\cdot 2^{100})\\
&=(1-2)\cdot 2^2+(2-3)\cdot 2^3+\dots+(99-100)\cdot 2^{100}+100\cdot2^{101}-2\\
&=100\cdot 2^{101}-(2+2^2+2^3+\dots+2^{100})=100\cdot2^{101}-(2^{101}-2)\\
&=99\cdot 2^{101}+2
\end{align*}
$2S-S=S$ тул $S=2+99\cdot 2^{101}$ байна.