Монгол Бодлогын Сан
Эх хэлээрээ суралцаж, эх хэлээрээ мэдлэгээ түгээе.
ЭЕШ 2017 D №37
$A=\dfrac{12}{2+\sqrt{3}-\sqrt{7}}$ ба $B=\sqrt2+2\sqrt{6}+\sqrt{21}$ тоонуудыг жишье. Бутархайн хуваарийг иррационалаас чөлөөлбөл $A=\fbox{a}+\fbox{b}\sqrt{3}+\sqrt{\fbox{cd}}$ тул $\fbox{a}+\fbox{b}\sqrt{3}$ ба $\sqrt2+2\sqrt{6}$ тоонуудыг жишихэд хангалттай. Хоёр тоогоо квадрат зэрэгт дэвшүүлбэл ${\fbox{ef}}+12\sqrt{3}$ ба $\fbox{gh}+8\sqrt{3}$ тул $A > B$ байна.
ab = 32
cd = 21
ef = 21
gh = 26
Бодлогын төрөл: Нөхөх
Амжилтын хувь: 23.21%
Бодлогыг оруулсан: Балхүүгийн Батбаясгалан
Бодолт
Заавар: $A$ тооны хүртвэр ба хуваарийг $2+\sqrt{3}+\sqrt{7}$ тоогоор үржүүлсний дараа хуваарийг иррационалаас чөлөөлөхөд илүү амар байна.
Бодолт: \begin{align*}
A&=\dfrac{12}{2+\sqrt{3}-\sqrt{7}}^{(2+\sqrt{3}+\sqrt{7}}\\
&=\dfrac{12(2+\sqrt{3}+\sqrt{7})}{(2+\sqrt{3}-\sqrt{7})(2+\sqrt{3}+\sqrt{7})}\\
&=\dfrac{12(2+\sqrt{3}+\sqrt{7})}{(2+\sqrt3)^2-(\sqrt{7})^2}\\
&=\dfrac{12(2+\sqrt{3}+\sqrt{7})}{4\sqrt{3}}^{(\sqrt{3}}\\
&=3+2\sqrt3+\sqrt{21}
\end{align*}
тул $3+2\sqrt{3}$ ба $\sqrt2+2\sqrt{6}$ тоонуудыг жишихэд хангалттай. Хоёр тоогоо квадрат зэрэгт дэвшүүлбэл $21+12\sqrt{3}$ ба $26+8\sqrt{3}$ тул $A > B$ байна.