Монгол Бодлогын Сан
Эх хэлээрээ суралцаж, эх хэлээрээ мэдлэгээ түгээе.
ЭЕШ 2010 B №17
$\log_x(3x-2)-\sqrt{\log_x^2(3x-2)-4\log_x\Big(3-\dfrac2{x}\Big)}=2$ тэгшитгэл хэдэн бүхэл шийдтэй вэ?
A. $4$
B. $3$
C. $2$
D. $1$
E. бүхэл шийдгүй
Бодлогын төрөл: Сонгох
Амжилтын хувь: 25.88%
Бодлогыг оруулсан: Балхүүгийн Батбаясгалан
Бодолт
Заавар: Тодорхойлогдох муж нь $x>0$, $x\neq 1$, $3x-2>0$.
$0< a<1$ үед $$\log_ax<\log_ay\Leftrightarrow x> y$$ ба $1< a$ үед $$\log_ax<\log_ay\Leftrightarrow x< y$$ байдаг.
$0< a<1$ үед $$\log_ax<\log_ay\Leftrightarrow x> y$$ ба $1< a$ үед $$\log_ax<\log_ay\Leftrightarrow x< y$$ байдаг.
Бодолт: $\log_x(3x-2)=a$ гэвэл
\begin{align*}
\log_x^2&(3x-2)-4\log_x\Big(3-\dfrac2{x}\Big)=\\
&=\log_x^2(3x-2)-4\log_x\Big(\dfrac{3x-2}{x}\Big)=\\
&=\log_x^2(3x-2)-4\log_x(3x-2)+4\log_xx=\\
&=(\log_x(3x-2)-2)^2=(a-2)^2
\end{align*}
болно. Иймд
$$\log_x(3x-2)-\sqrt{\log_x^2(3x-2)-4\log_x\Big(3-\dfrac2{x}\Big)}$$ тэгшитгэлийг $a-|a-2|=2$ гэж бичиж болно. $a-2=|a-2|\ge 0$ тул шийд нь $a\ge 2$ болно.
$$a\ge 2\Rightarrow \left[
\begin{array}{c}
\dfrac23 < x <1\, \text{ үед } \log_x(3x-2)\ge 2=\log_x x^2\Rightarrow x^2\ge 3x-2\Rightarrow x\in]\frac23;1[\\
1< x\, \text{ үед } \log_x(3x-2)\ge 2=\log_x x^2\Rightarrow x^2\le 3x-2\Rightarrow x\in]1;2]
\end{array}\right.$$ тул $x=2$ гэсэн 1 бүхэл шийдтэй.