Монгол Бодлогын Сан
Эх хэлээрээ суралцаж, эх хэлээрээ мэдлэгээ түгээе.
ЭЕШ 2017 B №22
$\cos^2(90^\circ+x)+3\cos^2(180^\circ+x)=2$ тэгшитгэлийн $90^\circ\le x\le 180^\circ$ завсарт байх бүх шийдийг ол.
A. $90^\circ$
B. $225^\circ$
C. $150^\circ$
D. $180^\circ$
E. $135^\circ$
Бодлогын төрөл: Сонгох
Амжилтын хувь: 37.34%
Бодлогыг оруулсан: Балхүүгийн Батбаясгалан
Бодолт
Заавар: $\cos(90^\circ+\alpha)=\sin\alpha$, $\cos(180^\circ+\alpha)=-\cos\alpha$ болон үндсэн адилтгал ашигла.
Бодолт: $$\cos^2(90^\circ+x)+3\cos^2(180^\circ+x)=2\Leftrightarrow (\sin x )^2+3(-\cos x)^2=2$$
$$\Leftrightarrow\sin^2x+3\cos^2x=2\Leftrightarrow (1-\cos^2x)+3\cos^2x=2\Leftrightarrow\cos^2x=\dfrac12$$
болно. Энэ тэгшитгэлийг $\cos x=\pm\dfrac{\sqrt2}{2}$ гээд үргэлжлүүлэн бодож болох боловч
$\cos^2\alpha=\dfrac{1+\cos2\alpha}{2}$ зэрэг бууруулах томьёо ашиглан бодох нь илүү тохиромжтой байдаг.
$$\cos^2x=\dfrac{1}{2}\Leftrightarrow\dfrac{1+\cos2x}{2}=\dfrac12\Leftrightarrow \cos2x=0$$
Эндээс $2x=90^\circ+180^\circ\cdot k\Leftrightarrow x=45^\circ+90^\circ\cdot k$ болно. Иймд $90^\circ\le x\le 180^\circ$ байх шийд нь $k=1$ үед $x=135^\circ$ байна.
Сорилго
ЭЕШ 2017 B
Илтгэгч, логарифм, тригонометр тэгшитгэл, тэнцэтгэл биш 1
сорил 5А хувилбар
сорил 5B хувилбар
тригонометрийн тэгшитгэл
Илтгэгч, логарифм, тригонометр тэгшитгэл, тэнцэтгэл биш 1 тестийн хуулбар
ЭЕШ 2017 B
ЭЕШ 2017 B тестийн хуулбар
тригонометр тэгшитгэл 1