Монгол Бодлогын Сан
Эх хэлээрээ суралцаж, эх хэлээрээ мэдлэгээ түгээе.
ЭЕШ 2017 B №28
$x^3+5x^2-4x-20=0$ тэгшитгэлийн язгуурууд $x_1,x_2,x_3$ бол $\dfrac{1}{x_1}+\dfrac{1}{x_2}+\dfrac{1}{x_3}=?$
A. $\dfrac45$
B. $\dfrac15$
C. $-1\dfrac15$
D. $-\dfrac15$
E. $-\dfrac14$
Бодлогын төрөл: Сонгох
Амжилтын хувь: 36.25%
Бодлогыг оруулсан: Балхүүгийн Батбаясгалан
Бодолт
Заавар: Куб тэгшитгэлийн Виетийн теорем:
$x^3+ax^2+bx+c=0$ тэгшитгэлийн шийдүүд $x_1,x_2,x_3$ байх зайлшгүй бөгөөд хүрэлцээтэй нөхцөл нь
$$x^3+ax^2+bx+c=(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)$$
буюу
$$\left\{
\begin{array}{c}
x_1+x_2+x_3=-a\\
x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3=b\\
x_1x_2x_3=-c
\end{array}
\right.$$
байна.
Бодолт: Виетийн теорем ашиглавал
$$\dfrac{1}{x_1}+\dfrac{1}{x_2}+\dfrac{1}{x_3}=\dfrac{x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3}{x_1x_2x_3}=\dfrac{-4}{-(-20)}=-\dfrac15$$ байна.
Заавар: $$x^3+5x^2-4x-20=x^2(x+5)-4(x+5)=(x+5)(x-2)(x+2)=0$$
Бодолт: Заавар ёсоор тэгшитгэлийн шийдүүд нь $x_1=-5$, $x_2=2$, $x_3=-2$ болж байна. Иймд
$$\dfrac{1}{x_1}+\dfrac{1}{x_2}+\dfrac{1}{x_3}=-\dfrac15$$
байна.