Монгол Бодлогын Сан

Эх хэлээрээ суралцаж, эх хэлээрээ мэдлэгээ түгээе.

Бүх ирмэг нь 2 урттай байх $ABCDE$ зөв дөрвөн өнцөгт пирамид өгөгджээ.

Суурийн диагональ $AC=2\sqrt{\fbox{a}}$ байна.
Диагональ огтлолын талбай $S_{ACE}=\fbox{b}$ байна.
Пирамидын эзлэхүүн $V_{ABCDE}=\dfrac{4\sqrt2}{\fbox{c}}$ байна.
Пирамидад багтсан бөмбөрцгийн радиус $r=\dfrac{\sqrt{\fbox{d}}-\sqrt2}{2}$ байна.
Энэ пирамидад хамгийн их эзлэхүүнтэй, 4 орой нь хажуу ирмэг дээр, 4 орой нь суурь дээр орших тэгш өнцөгт параллелепипед багтаавал эзлэхүүн нь $V_{\text{пар}}=\dfrac{16\sqrt2}{\fbox{ef}}$ байна.

a = 2

b = 2

c = 3

d = 6

ef = 27

Бодлогын төрөл: Нөхөх

Амжилтын хувь: 16.96%

Заавар:

Бодолт:

Суурийн талын урт 2 тул диагоналын урт нь $2\sqrt2$ байна.
2 катеттай адил хажуут тэгш өнцөгт гурвалжин тул талбай нь $\dfrac{2\cdot 2}{2}=2$ байна.
Пирамидын өндөр нь диагональ огтлолын өндөртэй тэнцүү тул $h=\dfrac{2\cdot 8}{4\sqrt2}=2\sqrt2$ байна. Суурийн талбай нь $2\cdot 2=4$ тул эзлэхүүн нь $\dfrac{1}{3}\cdot 4\cdot2\sqrt2=\dfrac{32\sqrt2}{3}$ байна.
Пирамидын хажуу талсууд нь 4 талтай зөв гурвалжнууд тул бүтэн гадаргуугийн талбай нь $16+4\cdot\dfrac{4^2\sqrt3}{4}=16+16\sqrt3$ байна. Иймд багтсан бөмбөрцгийн радиус нь $$r=\dfrac{3V}{S_{бүтэн}}=\dfrac{3\cdot\dfrac{32\sqrt2}{3}}{16+16\sqrt3}=\dfrac{2\sqrt2}{1+\sqrt3}=\dfrac{2\sqrt2(\sqrt3-1)}{(\sqrt3-1)(\sqrt3+1)}=\sqrt6-\sqrt2$$
Оройг дайрсан суурийн талбай параллель хөндлөн огтлолын багтсан параллелепипедийг огтолсон хэсгийг сонирхоё. Параллелепипедийн суурийн талыг $a$ өндрийг $h$ гэвэл $$\dfrac{2\sqrt2-h}{2\sqrt2}=\dfrac{a}{4}\Rightarrow a=4-\sqrt2h$$ Иймд $V(h)=(4-\sqrt2h)^2h$