Монгол Бодлогын Сан

Эх хэлээрээ суралцаж, эх хэлээрээ мэдлэгээ түгээе.

$ABC$ гурвалжинд $BD$ медиан татжээ. $AB=2\sqrt3$ , $AC=8$ , $\measuredangle ABD=45^\circ$ бол $BC$ талын уртыг ол.

$\sqrt6+\sqrt{10}$ B.

$4\sqrt3$ C.

$16+4\sqrt{15}$ D.

$\sqrt{52+8\sqrt{15}}$ E.

$2\sqrt{100-2\sqrt{15}}$

Бодлогын төрөл: Сонгох

Амжилтын хувь: 15.00%

Заавар: Гурвалжны медиан:

Гурвалжны гурван медиан нэг цэгт огтлолцоно. Энэ цэг нь гурвалжны хүндийн төв болох бөгөөд

$AG:GA_1=BG:GB_1=CG:GC_1=2:1$ байна. Медианы урт нь:

$m_a^2=\dfrac{2(b^2+c^2)-a^2}{4},\quad m_b^2=\dfrac{2(a^2+c^2)-b^2}{4},\quad m_c^2=\dfrac{2(a^2+b^2)-c^2}{4}.$

Бодолт:

$AD=AC/2=4$ . Косинусын теоремоор

$AD^2=AB^2+BD^2-2\cdot AB\cdot BD\cdot\cos 45^\circ\Rightarrow$

$4^2=(2\sqrt3)^2+BD^2-2\cdot 2\sqrt3\cdot BD\cdot\frac{\sqrt2}{2}\Rightarrow BD^2-2\sqrt6 BD-4=0.$ Эндээс

$BD=\dfrac{2\sqrt6\pm\sqrt{(2\sqrt6)^2-4\cdot(-4)}}{2}=\sqrt6\pm\sqrt10$ .

$BD>0$ тул

$BD=\sqrt6+\sqrt{10}$ .

$m_b^2=\dfrac{2(a^2+c^2)-b^2}{4}$ тул

$a^2=\dfrac{4m_b^2+b^2-2c^2}{2}=\dfrac{4(\sqrt6+\sqrt{10})^2+8^2-2(2\sqrt3)^2}{2}=52+8\sqrt{15}\Rightarrow$

$BC=a=\sqrt{52+8\sqrt{15}}$ .