Монгол Бодлогын Сан

Заавар: $A^3=A^2\cdot A=A\cdot A^2$ байна. Мэдээж $A^2=A\cdot A$ юм.

Бодолт: \begin{align*} A^2&=\begin{pmatrix} -1 & \phantom{-}1 & \phantom{-}2\\ \phantom{-}0 & \phantom{-}2 & -1\\ \phantom{-}1 & -1 & \phantom{-}1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} -1 & \phantom{-}1 & \phantom{-}2\\ \phantom{-}0 & \phantom{-}2 & -1\\ \phantom{-}1 & -1 & \phantom{-}1 \end{pmatrix}\\ &=\begin{pmatrix} -1\cdot(-1)+\phantom{(-)}1\cdot0+\phantom{(-)}2\cdot1 & -1\cdot1+\phantom{(-)}1\cdot 2+\phantom{(-)}2\cdot(-1) & -1\cdot2+\phantom{(-)}1\cdot(-1)+\phantom{(-)}2\cdot 1\\ \phantom{-}0\cdot(-1)+\phantom{(-)}2\cdot0+(-1)\cdot1 & \phantom{-}0\cdot1+\phantom{(-)}2\cdot 2+(-1)\cdot(-1) & \phantom{-}0\cdot2+\phantom{(-)}2\cdot(-1)+(-1)\cdot 1\\ \phantom{-}1\cdot(-1)+(-1)\cdot0+\phantom{(-)}1\cdot1 & \phantom{-}1\cdot1+(-1)\cdot 2+\phantom{(-)}1\cdot(-1) & \phantom{-}1\cdot2+(-1)\cdot(-1)+\phantom{(-)}1\cdot 1 \end{pmatrix}\\ &=\begin{pmatrix} \phantom{-}3 & -1 & -1\\ -1 & \phantom{-}5 & -3\\ \phantom{-}0 & -2 & \phantom{-}4 \end{pmatrix} \end{align*} ба $A^3=A^2\cdot A$ тул \begin{align*} A^3&=\begin{pmatrix} \phantom{-}3 & -1 & -1\\ -1 & \phantom{-}5 & -3\\ \phantom{-}0 & -2 & \phantom{-}4 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} -1 & \phantom{-}1 & \phantom{-}2\\ \phantom{-}0 & \phantom{-}2 & -1\\ \phantom{-}1 & -1 & \phantom{-}1 \end{pmatrix}\\ &=\begin{pmatrix} \phantom{-}3\cdot(-1)+(-1)\cdot0+(-1)\cdot1 & \phantom{-}3\cdot1+(-1)\cdot 2+(-1)\cdot(-1) &\phantom{-} 3\cdot2+(-1)\cdot(-1)+(-1)\cdot 1\\ -1\cdot(-1)+\phantom{(-)}5\cdot0+(-3)\cdot1 & -1\cdot1+\phantom{(-)}5\cdot 2+(-3)\cdot(-1) & -1\cdot2+\phantom{(-)}5\cdot(-1)+(-3)\cdot 1\\ \phantom{-}0\cdot(-1)+(-2)\cdot0+\phantom{(-)}4\cdot1 & \phantom{-}0\cdot1+(-2)\cdot 2+\phantom{(-)}4\cdot(-1) & \phantom{-}0\cdot2+(-2)\cdot(-1)+\phantom{(-)}4\cdot 1 \end{pmatrix}\\ &=\begin{pmatrix} -4&\phantom{-}2&\phantom{-}6\\ -2&\phantom{-}12&-10\\ \phantom{-}4&-8&\phantom{-}6 \end{pmatrix} \end{align*} байна.