Монгол Бодлогын Сан

Заавар: Аливаа $A=\begin{pmatrix} a & b\\ c & d\end{pmatrix}$ матрицын хувьд $$A^2-(a+d)A+(ad-bc)E=0$$ адилтгал биелдэг.

Бодолт: $A^2$, $A$, $E$ матрицуудын хамаарал ёсоор $$A^2-(-1+3)A+((-1)\cdot 3-2\cdot(-2))E=0$$ буюу $$A^2-2A+E=0$$ болно. $$x^n=(x^2-2x+1)Q(x)+ax+b=(x-1)^2Q(x)+ax+b$$ гэвэл уламжлал нь $$nx^{n-1}=2(x-1)Q(x)+(x-1)^2Q^\prime(x)+a$$ байна. Эдгээрт $x=1$ утгыг орлуулж бодвол $1=a+b$, $n=a$ болно. Иймд $b=1-n$ буюу $$x^n=(x^2-2x+1)Q(x)+ax+b=(x^2-2x+1)Q(x)+nx+(1-n)$$ болно. Тухайн тохиолдолд $x^{10}=(x^2-2x+1)Q(x)+10x-9$ тул $$A^{10}=(A^2-2A+E)Q(A)+10A-9E$$ тул $$A^{10}=\begin{pmatrix} -10 & 20\\ -20 & 30\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}9 & 0\\ 0 & 9\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -19 & 20\\ -20 & 21\end{pmatrix}$$