Монгол Бодлогын Сан

Заавар: $Q(x)=P(x+1)-x-1$ олон гишүүнтийн нэг язгуур нь $\sqrt[3]{2}$ болохыг ашигла.

Бодолт: Т. Базарын ирүүлсэн бодолт.

Эсрэгээс нь бодлогын нөхцөлийг хангах $P(x)$ гишүүнт олддог гээд зааварт өгөгдсөн $Q(x)$ олон гишүүнтийг авч үзье. Безугийн теоремоор $Q(x)$ нь $x-\sqrt[3]{2}$-д хуваагдах бөгөөд $x^3-2$ нь $\mathbb Q[x]$ дээр үл задрах тул $Q(x)=(x^3-2)S(x)$ байна. Нөгөө талаас $P(x)=Q(x-1)+x$ тул $$P(1+\sqrt5)=Q(\sqrt5)+1+\sqrt5=2+3\sqrt5$$ байна. Иймд $Q(\sqrt5)=1+2\sqrt5$ болов. Нөгөө талаас $Q(\sqrt5)=(5\sqrt5-2)S(\sqrt5)$ тул $$(5\sqrt5-2)(a+b\sqrt5)=1+2\sqrt5$$ байх $a$, $b$ бүхэл тоонууд оршин байх ёстой. Эндээс $$\left\{\begin{array}{l}-2a+25b=1\\ \phantom{-}5a-\phantom{5}2b=2\end{array}\right.\Leftrightarrow a=\dfrac{52}{121},\ b=\dfrac{9}{121}$$ болж зөрчил үүсэв. Иймд бодлогын нөхцөлийг хангах $P$ олон гишүүнт олдохгүй.