Монгол Бодлогын Сан

Заавар: $y=\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_nx^n$ гэвэл $$y'=\sum\limits_{n=0}^{\infty}na_nx^{n-1}=\sum_{n=0}^{\infty}(n+1)a_{n+1}x^n$$ ба $$y''=\sum\limits_{n=0}^{\infty}(n+1)na_{n+1}x^{n-1}=\sum_{n=0}^{\infty}(n+2)(n+1)a_{n+2}x^n$$ байна.

Бодолт: \begin{align*} (1-x^2)y''&=(1-x^2)\sum_{n=0}^{\infty}(n+2)(n+1)a_{n+2}x^n\\ &=\sum_{n=0}^{\infty}(n+2)(n+1)a_{n+2}x^n-x^2\sum_{n=0}^{\infty}(n+2)(n+1)a_{n+2}x^n\\ &=\sum_{n=0}^{\infty}(n+2)(n+1)a_{n+2}x^n-\sum_{n=0}^{\infty}(n+2)(n+1)a_{n+2}x^{n+2}\\ &=\sum_{n=0}^{\infty}(n+2)(n+1)a_{n+2}x^n-\sum_{n=2}^{\infty}n(n-1)a_{n}x^{n}\\ &=\sum_{n=0}^{\infty}(n+2)(n+1)a_{n+2}x^n-\sum_{n=0}^{\infty}n(n-1)a_{n}x^{n} & \leftarrow & n=0\lor1\Rightarrow n(n-1)a_n=0\\ &=\sum_{n=0}^\infty\{(n+2)(n+1)a_{n+2}-n(n-1)a_n\}\cdot x^n \end{align*} ба \begin{align*} 2xy'&=2x\sum_{n=0}^{\infty}(n+1)a_{n+1}x^n\\ &=\sum_{n=0}^{\infty}2(n+1)a_{n+1}x^{n+1}\\ &=\sum_{n=1}^\infty 2na_nx^n=\sum_{n=0}^\infty 2na_nx^n & \leftarrow & 2\cdot 0\cdot a_0x^0=0 \end{align*} байна. Иймд $$\sum_{n=0}^\infty\left[(n+2)(n+1)a_{n+2}-n(n-1)a_n-2na_n+\ell(\ell+1)a_n\right] x^n=0$$ болох тул коэффициентүүд нь $$a_{n+2}=\dfrac{n^2+n-\ell^2-\ell}{(n+2)(n+1)}\cdot a_n=\dfrac{(n-\ell)(n+\ell+1)}{(n+2)(n+1)}\cdot a_n$$ рекуррент томьёогоор тодорхойлогдоно.

$\ell=1$ бол $a_{n+2}=\dfrac{n-1}{n+1}\cdot a_n$ тул \begin{align*} a_2&=a_{0+2}=\dfrac{0-1}{0+1}\cdot a_0=-a_0\\ a_4&=a_{2+2}=\dfrac{2-1}{2+1}\cdot a_2=-\dfrac13a_0\\ a_6&=a_{4+2}=\dfrac{4-1}{4+1}\cdot a_4=\dfrac35a_2=-\dfrac15a_0 \end{align*} гэх мэтчилэн $a_{2n}=-\dfrac{a_0}{2n-1}$ ба $a_3=\dfrac{1-1}{1+1}a_1=0$ тул $a_{2n+1}=0$, $n\ge 1$ байна.