Монгол Бодлогын Сан

Заавар: $$\underbrace{111\ldots1}_{666}=111111\cdot(1+10^6+\cdots+10^{6\cdot 110}=\dfrac{10^6-1}{9}(1+10^6+\cdots+10^{6\cdot110})$$

Бодолт: Фермагийн теоремоор $7\mid 10^6-1$ тул $7$ модул авч үзье. Тооны квадрат $7$ модулаар $0,1,2,4$ үлдэгдэл өгөх ба $7\mid 98$ ба $7\mid x^2+2y^2$ тул зөвхөн $7\mid x$, $7\mid y$ байна. Иймд тэгшитгэлийн зүүн гар тал нь $7^2=49$-д хуваагдана. Гэвч $49\not\mid 666666$ ба Фермагийн теоремоор $$1+10^6+\cdots 10^{6\cdot 110}\equiv 111\not\equiv0\pmod{7}$$ тул тэгшитгэлийн баруун гар тал нь $49$-д хуваагдахгүй болов.

Заавар: 8 модул ашигла.

Бодолт: 8 модулаар тэгшитгэл маань $$x^2+2y^2+2z^2\equiv 111\pmod{8}$$ буюу $$x^2+2y^2+2z^2\equiv 7\pmod{8}$$ болно. Тооны квадрат 8 модулаар $0,1,4$ үлдэгдэл, квадратыг 2 дахин авахад $0,2$ үлдэгдэл өгнө. Эдгээрээс нийлбэр нь 7 үлдэгдэл өгч байхаар 3 тоо сонгож болохгүй тул тэгшитгэл бүхэл тоон шийдгүй байна.