Монгол Бодлогын Сан

Заавар: Геометр прогрессийн нийлбэр олох томьёо ашигла. Мөн $(e^{i\frac{\pi}{6}})^{12}=e^{i2\pi}=1$ болохыг санаарай.

Бодолт: $$\begin{align*} 1+e^{i\frac{\pi}{6}}&+e^{i\frac{2\pi}{6}}+\cdots+e^{i\frac{2019\pi}{6}}=\dfrac{1-e^{i\frac{2020\pi}{6}}}{1-e^{i\frac{\pi}{6}}}\\ &=\dfrac{1-e^{i\frac{12\pi\cdot 168+4\pi}{6}}}{1-e^{i\frac{\pi}{6}}}=\dfrac{1-e^{i\frac{4\pi}{6}}}{1-e^{i\frac{\pi}{6}}}\\ &=1+e^{i\frac{\pi}{6}}+e^{i\frac{2\pi}{6}}+e^{i\frac{3\pi}{6}}\\ &=1+\dfrac{\sqrt3}{2}+\dfrac12i+\dfrac12+\dfrac{\sqrt3}{2}i+i\\ &=\dfrac{3+\sqrt3}{2}(1+i)=\dfrac{3+\sqrt3}{\sqrt2}e^{i\frac{\pi}{4}} \end{align*}$$