Монгол Бодлогын Сан
Эх хэлээрээ суралцаж, эх хэлээрээ мэдлэгээ түгээе.
Бодлого №15395
"Дашдондог" гэдэг үгийг үсгүүдийг нэг нэгээр нь жижиг цаасан дээр бичсэн
байв. Цаасуудыг байрлуулахад:
а) "о" үсгүүд зэрэгцэж орсон байх,
б) бүх "д" үсгүүд зэрэгцэж орсон байх,
в) зэрэгцэж орсон адил үсэг байх,
г) бүх "о"-ууд ба бүх "д"-үүд зэрэгцсэн байх,
д) адил үсгүүд нь зэрэгцэж ороогүй байх магадлалуудыг тус тус ол.
Бодлогын төрөл: Уламжлалт
Бодлогыг оруулсан: Балхүүгийн Батбаясгалан
Бодолт
Заавар: а) "о" үсгүүд зэрэгцэж орсон байх боломжыг тоолоход хоёр "o" үсгээ нэг үсэг гэж үзээд тоолно,
б) бүх "д" үсгүүд зэрэгцэж орсон байх боломжыг тоолоход гурван "д" үсгээ нэг үсэг гэж үзээд тоолно,
в) $O$ нь "o" үсэг зэрэгцэж орсон $D$ нь "д" үсэг зэрэгцэж орсон үгийн олонлог гээд $|O\cup D|$ олонлогийн элементийн тоог тооцоол.
г) "о"-ууд ба бүх "д"-үүдийг нэг, нэг үсэг гэж үз,
д) в)-ийн эсрэг үзэгдэл.
б) бүх "д" үсгүүд зэрэгцэж орсон байх боломжыг тоолоход гурван "д" үсгээ нэг үсэг гэж үзээд тоолно,
в) $O$ нь "o" үсэг зэрэгцэж орсон $D$ нь "д" үсэг зэрэгцэж орсон үгийн олонлог гээд $|O\cup D|$ олонлогийн элементийн тоог тооцоол.
г) "о"-ууд ба бүх "д"-үүдийг нэг, нэг үсэг гэж үз,
д) в)-ийн эсрэг үзэгдэл.
Бодолт: "Дашдондог" гэдэг үгийг үсгүүдийг нэг нэгээр нь жижиг цаасан дээр бичсэн
байв. Цаасуудыг байрлуулахад:
а) $\dfrac{P(3,1,1,1,1,1)}{P(3,2,1,1,1,1)}=\dfrac{8!/3!}{9!/(3!\cdot 2!)}=\dfrac{2}{9}$,
б) $\dfrac{P(2,1,1,1,1,1)}{P(3,2,1,1,1,1)}=\dfrac{7!/2!}{9!/(3!\cdot 2!)}=\dfrac{6}{8\cdot 9}=\dfrac{1}{12}$,
в) Хоёр о үсгээ ижил гээд үзвэл $|O|=P(3,1,1,1,1,1)=9!/3!=60480$, $|D|=9!/(3!\cdot 2!)-|\overline{D}|$ ба а, ш, о, н, о, г үсгүүдийн дунд д үсгүүдийг нэг, нэгээр нь байрлуулах тул $$|\overline{D}|=P(2,1,1,1,1)\cdot C_7^3=\dfrac{6!\cdot 7!}{2!\cdot 4!\cdot 3!}=12600\Rightarrow |D|=30240-12600=17640$$ байна. Түүнчлэн $|O\cap D|=|O|-|O\cap\overline{D}|$ тул $$|O\cup D|=|O|+|D|-|O|+|O\cap\overline{D}|=|D|+|O\cap\overline{D}|$$ д үсгүүд зэрэгцээж ороогүй гэвэл а, ш, оо, н, г үсгүүдийн дунд байрлах тул $|O\cap\overline{D}|=5!\cdot C_6^3=2400$ байна. Иймд $$|O\cup D|=17640+2400=20040$$ болно. Иймд ижил үсэг зэрэгцэж орсон байх магадлал $\dfrac{20040}{30240}=\dfrac{167}{252}$ юм.
г) $\dfrac{6!}{9!/(3!\cdot 2!)}$,
д) $1-\dfrac{167}{252}=\dfrac{85}{252}$.
а) $\dfrac{P(3,1,1,1,1,1)}{P(3,2,1,1,1,1)}=\dfrac{8!/3!}{9!/(3!\cdot 2!)}=\dfrac{2}{9}$,
б) $\dfrac{P(2,1,1,1,1,1)}{P(3,2,1,1,1,1)}=\dfrac{7!/2!}{9!/(3!\cdot 2!)}=\dfrac{6}{8\cdot 9}=\dfrac{1}{12}$,
в) Хоёр о үсгээ ижил гээд үзвэл $|O|=P(3,1,1,1,1,1)=9!/3!=60480$, $|D|=9!/(3!\cdot 2!)-|\overline{D}|$ ба а, ш, о, н, о, г үсгүүдийн дунд д үсгүүдийг нэг, нэгээр нь байрлуулах тул $$|\overline{D}|=P(2,1,1,1,1)\cdot C_7^3=\dfrac{6!\cdot 7!}{2!\cdot 4!\cdot 3!}=12600\Rightarrow |D|=30240-12600=17640$$ байна. Түүнчлэн $|O\cap D|=|O|-|O\cap\overline{D}|$ тул $$|O\cup D|=|O|+|D|-|O|+|O\cap\overline{D}|=|D|+|O\cap\overline{D}|$$ д үсгүүд зэрэгцээж ороогүй гэвэл а, ш, оо, н, г үсгүүдийн дунд байрлах тул $|O\cap\overline{D}|=5!\cdot C_6^3=2400$ байна. Иймд $$|O\cup D|=17640+2400=20040$$ болно. Иймд ижил үсэг зэрэгцэж орсон байх магадлал $\dfrac{20040}{30240}=\dfrac{167}{252}$ юм.
г) $\dfrac{6!}{9!/(3!\cdot 2!)}$,
д) $1-\dfrac{167}{252}=\dfrac{85}{252}$.