Монгол Бодлогын Сан

Заавар: $n$-ээр индукцлэж батал.

Бодолт: $n=1$ үед илэрхий. $n=2$ хоёр үед $|v_1^2-v_2^2|\le |v_1^2|+|v_2^2|\le 2$ тул $$|v_1-v_2|\le\sqrt{2}\lor |v_1+v_2|\le\sqrt{2}$$ байна. $n\ge 3$ үед хоорондох өнцөг нь $\pm v_1,\pm v_2,\pm v_3$ тоонуудын аль нэг хоёрын хоорондох өнцөг $60^\circ$-ээс хэтрэхгүй байна. Эдгээр нь $v_1$, $v_2$ гэхэд явцуурахүй. Энэ тохиолдолд $|v_1-v_2|\le 1$ тул $v_1-v_2,v_3,\dots,v_n$ тоонуудын хувьд индукцээр $\varepsilon_i,i=\overline{1,n-1}$ тоонууд олдох ба $$|\varepsilon_1v_1-\varepsilon_1v_2+\varepsilon_2v_3+\dots+\varepsilon_{n-1}v_n|\le\sqrt{2}$$ байна.