Монгол Бодлогын Сан
Эх хэлээрээ суралцаж, эх хэлээрээ мэдлэгээ түгээе.
Чевийн теорем
$ABC$ гурвалжны $AB$, $BC$, $CA$ талууд дээр харгалзан $C_1$, $A_1$, $B_1$ цэгүүд авав. Хэрвээ $$(AB,C_1)\cdot(BC,A_1)\cdot(CA,B_1)=1$$ бол $AA_1$, $BB_1$, $CC_1$ хэрчмүүд нэг цэгт огтлолцоно.
Бодлогын төрөл: Уламжлалт
Бодлогыг оруулсан: Балхүүгийн Батбаясгалан
Бодолт
Заавар: Комплекс тоо ашиглан батлах.
Бодолт: $A=0$ ба $(AB,C_1)=\gamma$, $(BC,A_1)=\alpha$, $(CA,B_1)=\beta$ гэе. Тэгвэл $C_1=\dfrac{\gamma B}{1+\gamma}$, $B_1=\dfrac{C}{1+\beta}$ ба
$$A_1=\dfrac{B+\alpha C}{1+\alpha}=\dfrac{B+\dfrac{1}{\beta\gamma}C}{1+\dfrac{1}{\beta\gamma}}=\dfrac{\beta\gamma B+C}{\beta\gamma+1}$$
болно. $BB_1$, $CC_1$ шулуунуудын огтлолцол $M$ гэвэл
$$M=xC_1+(1-x)C=yB_1+(1-y)B$$
буюу
$$M=\dfrac{\gamma x}{1+\gamma}B+(1-x)C=\dfrac{y}{1+\beta}C+(1-y)B$$
байна.
Иймд
$$\left\{\begin{array}{c}
\dfrac{\gamma x}{1+\gamma}=1-y\\
\dfrac{y}{1+\beta}=1-x
\end{array}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{c}
x=\dfrac{\beta(\gamma+1)}{\beta\gamma+\beta+1}\\
y=\dfrac{\beta+1}{\beta\gamma+\beta+1}
\end{array}\right.$$
болно. Эндээс
$$M=\dfrac{\beta\gamma}{\beta\gamma+\beta+1} B+\dfrac{1}{\beta\gamma+\beta+1}C=\dfrac{\beta\gamma+1}{\beta\gamma+\beta+1} A_1$$
буюу $M$ цэг $AA_1$ хэрчим дээр орших болов.