Монгол Бодлогын Сан

Эх хэлээрээ суралцаж, эх хэлээрээ мэдлэгээ түгээе.

Бодлого №15825

$A=t\begin{pmatrix} 1 & -1\\ 1 & \hfill 1 \end{pmatrix}$ , $(t>0)$ ба $I=\begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ нь $A^4+I=\begin{pmatrix} 0 & 0\\ 0 & 0 \end{pmatrix}$ нөхцөлийг хангадаг байв. Тэгвэл

$t=\dfrac{\sqrt{\fbox{a}}}{2}$ байна.
$A^n\begin{pmatrix} 0\\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1\\ 0 \end{pmatrix}$ нөхцөлийг хангах хамгийн бага натурал $n$ тоо нь $\fbox{b}$ байна.
$A^{2019}=\begin{pmatrix} \cos\alpha & -\sin\alpha\\ \sin\alpha & \phantom{-}\cos\alpha \end{pmatrix}$ бa $0\le\alpha<360^\circ$ бол $\alpha=\fbox{cde}^\circ$ байна.

a = 2

b = 6

cde = 135

Бодлогын төрөл: Нөхөх

Амжилтын хувь: 5.14%

Бодлогыг оруулсан: Балхүүгийн Батбаясгалан

Бодолт

Заавар:

$A=a\begin{pmatrix} 1 & -1\\ 1 & \hfill 1 \end{pmatrix}$

$(a>0)$ ба

$I=\begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ нь

$A^4+I=\begin{pmatrix} 0 & 0\\ 0 & 0 \end{pmatrix}$ байх матрицууд байг.

Дараах асуултуудад хариул.

$a$ -г ол.
$A^n\begin{pmatrix} 0\\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1\\ 0 \end{pmatrix}$ байх хамгийн бага $n$ натурал тоог ол.
$A^{2019}$ -г ол.

Бодолт:

Бодлогын нөхцөлөөс $A^4=-I$ тул $(\det A)^4=1$ буюу $[a^2\cdot(1\cdot1-(-1)\cdot1)]^4=1$ байна. Эндээс $a>0$ тул $a=\dfrac{\sqrt2}{2}$ байна.
$A=\dfrac{\sqrt2}{2}\begin{pmatrix} 1 & -1\\ 1 & \hfill 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \cos45^\circ & -\sin45^\circ\\ \sin45^\circ & \phantom{-}\cos45^\circ \end{pmatrix}$ тул $A$ нь цагийн зүүний эсрэг чиглэлд $45^\circ$ эргүүлэх эргүүлэх хувиргалтын матриц болно. Иймд $\begin{pmatrix} 0\\1\end{pmatrix}$ -г $\begin{pmatrix} 1\\0\end{pmatrix}$ -д буулгахын тулд 6 удаа $45^\circ$ -аар эргүүлнэ. Эндээс $A^6\begin{pmatrix} 0\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1\\0\end{pmatrix}$ буюу $n$ -ийн хамгийн бага утга нь $n=6$ байна.
$A^{2019}$ нь $2019\cdot 45^\circ$ градусын эргүүлэлт буюу $135^\circ$ эргүүлэлтийн матриц тул $A^{2019}=\begin{pmatrix} \cos135^\circ & -\sin135^\circ\\ \sin135^\circ & \phantom{-}\cos135^\circ \end{pmatrix}$ байна.

Сорилго

Сорилго 2019 №3А 04-27-2 06-05 -07 06-05 -07 тестийн хуулбар Амралт даалгавар 15 алгебр

Монгол Бодлогын Сан

Бодлого №15825

Бодолт

Сорилго

Түлхүүр үгс

Санал хүсэлт: