Монгол Бодлогын Сан
Эх хэлээрээ суралцаж, эх хэлээрээ мэдлэгээ түгээе.
Бодлого №15825
$A=t\begin{pmatrix} 1 & -1\\ 1 & \hfill 1 \end{pmatrix}$, $(t>0)$ ба $I=\begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ нь $A^4+I=\begin{pmatrix} 0 & 0\\ 0 & 0 \end{pmatrix}$ нөхцөлийг хангадаг байв. Тэгвэл
- $t=\dfrac{\sqrt{\fbox{a}}}{2}$ байна.
- $A^n\begin{pmatrix} 0\\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1\\ 0 \end{pmatrix}$ нөхцөлийг хангах хамгийн бага натурал $n$ тоо нь $\fbox{b}$ байна.
- $A^{2019}=\begin{pmatrix} \cos\alpha & -\sin\alpha\\ \sin\alpha & \phantom{-}\cos\alpha \end{pmatrix}$ бa $0\le\alpha<360^\circ$ бол $\alpha=\fbox{cde}^\circ$ байна.
a = 2
b = 6
cde = 135
Бодлогын төрөл: Нөхөх
Амжилтын хувь: 5.14%
Бодлогыг оруулсан: Балхүүгийн Батбаясгалан
Бодолт
Заавар: $A=a\begin{pmatrix}
1 & -1\\
1 & \hfill 1
\end{pmatrix}$ $(a>0)$ ба $I=\begin{pmatrix}
1 & 0\\
0 & 1
\end{pmatrix}$ нь $A^4+I=\begin{pmatrix}
0 & 0\\
0 & 0
\end{pmatrix}$ байх матрицууд байг.
Дараах асуултуудад хариул.
Дараах асуултуудад хариул.
- $a$-г ол.
- $A^n\begin{pmatrix} 0\\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1\\ 0 \end{pmatrix}$ байх хамгийн бага $n$ натурал тоог ол.
- $A^{2019}$-г ол.
Бодолт:
- Бодлогын нөхцөлөөс $A^4=-I$ тул $(\det A)^4=1$ буюу $$[a^2\cdot(1\cdot1-(-1)\cdot1)]^4=1$$ байна. Эндээс $a>0$ тул $a=\dfrac{\sqrt2}{2}$ байна.
- $A=\dfrac{\sqrt2}{2}\begin{pmatrix} 1 & -1\\ 1 & \hfill 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \cos45^\circ & -\sin45^\circ\\ \sin45^\circ & \phantom{-}\cos45^\circ \end{pmatrix}$ тул $A$ нь цагийн зүүний эсрэг чиглэлд $45^\circ$ эргүүлэх эргүүлэх хувиргалтын матриц болно. Иймд $\begin{pmatrix} 0\\1\end{pmatrix}$-г $\begin{pmatrix} 1\\0\end{pmatrix}$-д буулгахын тулд 6 удаа $45^\circ$-аар эргүүлнэ. Эндээс $$A^6\begin{pmatrix} 0\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1\\0\end{pmatrix}$$ буюу $n$-ийн хамгийн бага утга нь $n=6$ байна.
- $A^{2019}$ нь $2019\cdot 45^\circ$ градусын эргүүлэлт буюу $135^\circ$ эргүүлэлтийн матриц тул $$A^{2019}=\begin{pmatrix} \cos135^\circ & -\sin135^\circ\\ \sin135^\circ & \phantom{-}\cos135^\circ \end{pmatrix}$$ байна.