Монгол Бодлогын Сан

Заавар: $i^{-1}\equiv\dfrac{1}{i}\pmod{p}$ байна. Энд $i^{-1}$ нь $i$ тооны $p$ модулиархи урвуу.

Бодолт: $A=\dfrac{1}{1}+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\cdots+\dfrac{1}{p-1}$ гэвэл $$2A=\dfrac{p}{1\cdot(p-1)}+\dfrac{p}{2\cdot(p-2)}+\dfrac{p}{3\cdot(p-3)}+\cdots+\dfrac{p}{(p-1)\cdot 1}$$ болно. Иймд $$\dfrac{2A}{p}=\dfrac{1}{1\cdot(p-1)}+\dfrac{1}{2\cdot(p-2)}+\dfrac{1}{3\cdot(p-3)}+\cdots+\dfrac{1}{(p-1)\cdot 1}$$ бутархайн хуваарь $p$-д хуваагдана гэдгийг батлахад хангалттай. $$\dfrac{1}{p-i}\equiv-\dfrac{1}{i}\pmod{p}\Rightarrow \dfrac{1}{i\cdot(p-i)}\equiv-\dfrac{1}{i^2}\pmod{p}$$ тул $$\sum_{i=1}^{p-1}\dfrac{1}{i\cdot(p-i)}\equiv–\sum_{i=1}^{p-1}\dfrac{1}{i^2}\equiv-\sum_{i=1}^{p-1}i^2=-\dfrac{(p-1)p(2p-1)}{6}\equiv 0\pmod{p}$$