Монгол Бодлогын Сан
Эх хэлээрээ суралцаж, эх хэлээрээ мэдлэгээ түгээе.
Бодлого №16158
Эхний 100 натурал тооны дотор 2, 3, 5-ын алинд ч хуваагдахгүй тоо хэд бий вэ? 2, 3, 5-ын ядаж нэгд нь хуваагдахгүй тоо хэд бий вэ? 2, 3, 5, 7-гийн алинд ч хуваагдахгүй тоо хэд бий вэ? 2, 3, 5, 7-гийн ядаж хоёрт нь хуваагддаг тоо хэд бий вэ?
Бодлогын төрөл: Уламжлалт
Бодлогыг оруулсан: Балхүүгийн Батбаясгалан
Бодолт
Заавар: $U=\{1,2,\dots,100\}$ ба $A_i\subseteq U$ нь $i$-д хуваагдах тоонуудын олонлог гэе. Тэгвэл
$$\overline{A_2}\,\overline{A_3}\,\overline{A_5}=\overline{A_2\cup A_3\cup A_5}=U\setminus (A_2\cup A_3\cup A_5)$$
$$\overline{A_2}\cup\overline{A_3}\cup\overline{A_5}=\overline{A_2 A_3 A_5}=U\setminus (A_2A_3A_5)$$
$$\overline{A_2}\,\overline{A_3}\,\overline{A_5}\,\overline{A_7}=\overline{A_2\cup A_3\cup A_5\cup A_7}=U\setminus (A_2\cup A_3\cup A_5\cup A_7)$$
$$A_2A_3\cup A_2A_5\cup A_2A_7\cup A_3A_5\cup A_3A_7\cup A_5A_7$$
байна.
Натурал тоо $n$-ээс хэтрэхгүй $k$-д хуваагддаг тоонуудын тоо $\left[\dfrac{n}{k}\right]$ байдаг.
Натурал тоо $n$-ээс хэтрэхгүй $k$-д хуваагддаг тоонуудын тоо $\left[\dfrac{n}{k}\right]$ байдаг.
Бодолт: \begin{align*}
|U\setminus (A_2\cup A_3\cup A_5)|&=|U|-|A_2|-|A_3|-|A_5|+|A_2A_3|+|A_2A_5|+|A_3A_5|-|A_2A_3A_5|\\
&=100-50-33-20+16+10+6-3=26\\
|U\setminus (A_2A_3A_5)|&=|U|-|A_2A_3A_5|=100-3=97\\
|U\setminus (A_2\cup A_3\cup A_5\cup A_7)|&=|U|-|A_2|-|A_3|-|A_5|-|A_7|+|A_2A_3|+|A_2A_5|+|A_2A_7|\\
&~~~+|A_3A_5|+|A_3A_7|+|A_5A_7|-|A_2A_3A_5|-|A_2A_3A_7|-|A_2A_5A_7|\\
&~~~-|A_3A_5A_7|+|A_2A_3A_5A_7|\\
&=100-50-33-20-14+16+10+7+6+4+2\\
&~~~-3-2-1-0+0=22
\end{align*}