Монгол Бодлогын Сан

Заавар:

Бодолт: $A$, $B$, $C$ нь харгалзан буриад, дөрвөд, баяд тус бүрдээ зэрэгцэж суусан байрлал гэе. Тэгвэл $$|\overline{A}\,\overline{B}\,\overline{C}|=|U|-|A\cup B\cup C|=|U|-|A|-|B|-|C|+|AB|+|AC|+|BC|-|ABC|$$ болно. $$|A|=9!-9\cdot 5!\cdot A_6^3=233280,$$ $A_2$ нь хоёр буриад зэрэгцэж суусан гурван буриад зэрэгцэж суугаагүй, $B_2$ нь хоёр дөрвөд зэрэгцэж суусан гурван дөрвөд зэрэгцэж суугаагүй, $A_3$ нь гурван буриад зэрэгцэж суусан, $B_3$ нь гурван дөрвөд зэрэгцэж суусан гэвэл $$|A_2B_2|=9\cdot (3!)^2\cdot (6!-2\cdot 5!-2\cdot 5!+4\cdot 4!)=108864,$$ $$|A_2B_3|=|A_3B_2|=9\cdot (3!)^2\cdot(5!-2\cdot 4!)=23328,$$ $$|A_3B_3|=9\cdot (3!)^2\cdot 4!=7776,$$ $$|AB|=|A_2B_2|+|A_2B_3|+|A_3B_2|+|A_3B_3|=108864+2\cdot 108864+7776=163296$$ байна. $C_2$ нь хоёр баяд зэрэгцэж суусан гурван баяд зэрэгцэж суугаагүй, $C_3$ нь гурван баяд зэрэгцэж суусан гэвэл $$|A_2B_2C_2|=9\cdot (3!)^3 \cdot (5!-3\cdot 2\cdot 4!+3\cdot 2^2\cdot 3!-2^3\cdot 2!)=62208,$$ $$|A_2B_2C_3|=|A_2B_3C_2|=|A_3B_2C_2|=9\cdot (3!)^3 \cdot (4!-2\cdot 2\cdot 3! + 2^2\cdot 2!)=15552,$$ $$|A_2B_3C_3|=|A_3B_2C_3|=|A_3B_3C_2|=9\cdot (3!)^3 \cdot (3!-2\cdot 2!)=3888,$$ $$|A_3B_3C_3|=9\cdot (3!)^3\cdot 2!=3888,$$ $$|ABC|=62208+3\cdot 15552+3\cdot 3888+3888=124416$$ Иймд аль ч 2 нэг ястан зэрэгцэн суухгүй байхаар $$9!-3\cdot 233280+3\cdot 163296-124416=28512$$ янзаар дугуй ширээнд сууж болно.