Монгол Бодлогын Сан

$$f(x)=x^2-ax-b\in F[x]\qquad(1) $$ $$u_n=au_{n-1}+bu_{n-2}\quad(n\ge n_0+2),\quad n_0\in\mathbb{Z}\qquad(2)$$ $(1)$-г $(2)$ рх-ны характеристик олон гишүүнт гэдэг. Өгсөн $$n_0\in\mathbb{Z},\quad u_{n_0},u_{n_0+1}\in F\qquad(3)$$ утгуудыг $(2)$ рекурент харьцааны анхны утгууд гэдэг, энд $F$ дурын талбар.

1. $f(\alpha)=0$ бол $u_n=\alpha^n$, $n\ge n_0+2$ функц нь $(2)$-ын шийд болохыг батал.
2. $\alpha$ нь $(1)$-ийн давхар язгуур бол $u_n=n\alpha^n$, $n\ge n_0$ функц нь $(2)$-ын шийд болохыг батал.
3. $\alpha_1,\alpha_2$ нь $(1)$-ийн ялгаатай тэг биш язгуурууд ба $(3)$ нь өгсөн анхны утгууд бол $(2)$-ын ямарч шийд нь $$u_n=c_1\alpha_1^n+c_2\alpha_2^n\qquad(4) $$ хэлбэртэй байна, энд $c_1,c_2$ нь $$\left\{\begin{array}{l}u_{n_0}=c_1\alpha_1^{n_0}+c_2\alpha_2^{n_0}\\ u_{n_0+1}=c_1\alpha_1^{n_0+1}+c_2\alpha_2^{n_0+1}\end{array}\right.\qquad(5) $$ нөхцөлөөр нэг утгатай тодорхойлогдоно гэж батал.
4. $\alpha$ нь $(1)$-ийн давхар язгуур бол $(2)$-ын ямар ч шийд нь $$u_n=(c_1+c_2n)\alpha^n\qquad(6) $$ хэлбэртэй байна, энд $\alpha\ne0$ бол $c_1,c_2$ нь $$\left\{\begin{array}{l}u_{n_0}=(c_1+c_2n_0)\alpha^{n_0}\\ u_{n_0+1}=(c_1+c_2(n_0+1))\alpha^{n_0+1}\end{array}\right.\qquad(7) $$ нөхцөлөөр нэг утгатай тодорхойлогдоно гэж батал.