Монгол Бодлогын Сан

Заавар:

Бодолт: Характеристик тэгшитгэл нь $$x^3=4x^2-5x+2\Leftrightarrow x^3-4x^2+5x-2=(x-1)^2(x-2)=0$$ буюу шийдүүд нь $x_1=x_2=1$, $x_3=2$ тул нэгэн төрлийн тэгшитгэлийн ерөнхий шийд нь $$(c_1+c_2n)\cdot 1^n+c_32^n$$ хэлбэртэй байна. $x_1=x_2=1$ тул $6n-2$ олон гишүүнтийг зэргийг 2-оор ихэсгэж $a_n^*=an^3+bn^2$ хэлбэрээр тухайн шийдийг хайя. $$an^3+bn^2=4\big(a(n-1)^3+b(n-1)^2\big)-5\big(a(n-2)^3+b(n-2)^2\big)+2\big(a(n-3)^3+b(n-3)^2\big)+6n-20$$ $1$ хоёр давхар шийд тул $n^3$, $n^2$-ийн өмнөх коэффициентүүд тэнцүү байна (шалгаж үз!). Иймд $n$ болон сул гишүүдийн тэнцүүлж тэгшитгэл зохиовол $$\left\{\begin{array}{l} 0=12a-8b-60a+20b+54a-12b+6\\ 0=-4a+4b+40a-20-54a+18b-20 \end{array}\right.$$ буюу $$\left\{\begin{array}{l} 0=6a+6\\ 0=-18a+2b-20 \end{array}\right.$$ тул $a=-1$, $b=1$. Иймд $$a_n=-n^3+n^2+c_1+c_2n+c_3\cdot 2^n$$ хэлбэртэй байна. $a_0=9$, $a_1=17$, $a_2=24$ анхны нөхцөл ашиглавал $$\left\{\begin{array}{l} 9=c_1+c_3\\ 17=c_1+c_2+2c_3\\ 24=-4+c_1+2c_2+4c_3 \end{array}\right.$$ болно. Эхний тэгшитгэлийг 2, 3-р тэгшитгэлээс хасвал $$\left\{\begin{array}{l} 9=c_1+c_3\\ 8=c_2+c_3\\ 19=2c_2+3c_3 \end{array}\right.$$ Сүүлийн хоёр тэгшитгэлээс $c_3=3$, $c_2=5$ тул $c_1=6$ тул $$a_n=-n^3+n^2+5n+6+3\cdot 2^n$$