Монгол Бодлогын Сан

Заавар:

Бодолт: $b_n$ бидний олох тоо гэе. Тэгвэл $b_3=1$, $b_4=2$ байх нь ойлгомжтой. Олон өнцөгтийн тал бүр ямар нэг хуваалтын гурвалжны тал болно. Олон өнцөгтийнхөө аль нэг талыг бэхлээд уг талыг агуулсан гурвалжнуудаар нь боломжуудыг хувааж тоолбол $$b_n=b_{n-1}+b_{3}b_{n-2}+b_{4}b_{n-3}+\cdots+b_{n-2}b_{3}+b_{n-1}$$ болно. Тухайн тохиолдолд $$b_5=b_4+b_3\cdot b_3+b_4=2+1\cdot 1+2=5$$ байна. Хэрвээ $b_2=1$ гэвэл $$b_n=\sum\limits_{k=2}^{n-1}b_kb_{n-k+1}$$ гээд илүү эвтэйхэн хэлбэртэй бичиж болно. Түүнчлэн $c_n=b_{n+2}$ гэвэл $c_0=b_2=1$ ба $$c_n=b_{n+2}=\sum_{k=2}^{n+1}b_kb_{n-k+3}=\sum_{k=0}^{n-1}c_kc_{n-k+1}$$ тул Каталаны тоо болно. Иймд $b_{n}=c_{n-2}=\dfrac{1}{n-1}\dbinom{2n-2}{n-2}$ байна.