Монгол Бодлогын Сан
Эх хэлээрээ суралцаж, эх хэлээрээ мэдлэгээ түгээе.
Бодлого №16286
$1,2,2^2,\dots,2^n,\dots$ грамм жинтэй туухайнуудаас тус бүр нэг ширхэг байв. Ямар ачааг дээрх туухайнуудаар хэчнээн янзын аргаар жинлэж чадах вэ?
Бодлогын төрөл: Уламжлалт
Бодлогыг оруулсан: Балхүүгийн Батбаясгалан
Бодолт
Заавар:
Бодолт: $a_n$ нь $n$ грамм ачааг дээрх туухайнуудыг ашиглан жиших
боломжийн тоо байг.
$\{a_n\}_{n=1}^{\infty}$ дарааллыг олох ёстой. $a_0=1$ үед $\{a_n\}_0^{\infty}$-г авъя. Үүний еуф нь $A(t)=\sum\limits_{n\ge0}a_nt^n$ болно. Хэрэв $B(t)=\prod\limits_{s\ge0}(1+t^{2^s})=1+b_1t+b_2t^2+\dots+b_kt^k+\dots$-г авч үзвэл $b_k$ нь $k=2^{s_1}+\dots+2^{s_{\ell}}$ дүрслэлийн тоотой тэнцүү байх ёстой буюу $b_k=a_k$ байх ёстой. Гэтэл $B(t)=(1+t)(1+t^2)(1+t^4)\dots(1+t^{2^n})\dots=\frac{B(t)(1-t)}{1-t}$. Одоо $B(t)(1-t)=1$ гэдгийг харуулъя. $n\in\mathbb{N}$-г авъя. $\exists k$, $2^k>n$ тул $B(t)(1-t)=(1-t^{2^k})(1+t^{2^k})(1+t^{2^{k+1}})\dots=\sum\limits_{s\ge0}c_st^s$ тул энд $c_n=0$, ө.х. $c_0=1$, $c_1=c_2=\dots=c_n=0$. Үүгээр $B(t)=\frac{B(t)(1-t)}{1-t}=\frac1{1-t}=1+t+t^2+\dots=\sum\limits_{n\ge0}t^n$ буюу $b_0=b_1=\dots=b_n=\dots=1$, $a_k=b_k$ тул дурын $n$ жинтэй ачааг ганц янзаар жинлэж чадна гэж гарлаа.
$\{a_n\}_{n=1}^{\infty}$ дарааллыг олох ёстой. $a_0=1$ үед $\{a_n\}_0^{\infty}$-г авъя. Үүний еуф нь $A(t)=\sum\limits_{n\ge0}a_nt^n$ болно. Хэрэв $B(t)=\prod\limits_{s\ge0}(1+t^{2^s})=1+b_1t+b_2t^2+\dots+b_kt^k+\dots$-г авч үзвэл $b_k$ нь $k=2^{s_1}+\dots+2^{s_{\ell}}$ дүрслэлийн тоотой тэнцүү байх ёстой буюу $b_k=a_k$ байх ёстой. Гэтэл $B(t)=(1+t)(1+t^2)(1+t^4)\dots(1+t^{2^n})\dots=\frac{B(t)(1-t)}{1-t}$. Одоо $B(t)(1-t)=1$ гэдгийг харуулъя. $n\in\mathbb{N}$-г авъя. $\exists k$, $2^k>n$ тул $B(t)(1-t)=(1-t^{2^k})(1+t^{2^k})(1+t^{2^{k+1}})\dots=\sum\limits_{s\ge0}c_st^s$ тул энд $c_n=0$, ө.х. $c_0=1$, $c_1=c_2=\dots=c_n=0$. Үүгээр $B(t)=\frac{B(t)(1-t)}{1-t}=\frac1{1-t}=1+t+t^2+\dots=\sum\limits_{n\ge0}t^n$ буюу $b_0=b_1=\dots=b_n=\dots=1$, $a_k=b_k$ тул дурын $n$ жинтэй ачааг ганц янзаар жинлэж чадна гэж гарлаа.
Сорилго
Энэ бодлого ямар нэг сорилгод ороогүй.