Монгол Бодлогын Сан
Эх хэлээрээ суралцаж, эх хэлээрээ мэдлэгээ түгээе.
Бодлого №16302
$n\ge1$ үед $c_n=c_0c_{n-1}+c_2c_{n-2}+\dots+c_{n-1}c_0$ рх-аар тодорхойлогдох $\{c_n\}$ дарааллын ерөнхий гишүүнийг ол.
Бодлогын төрөл: Уламжлалт
Бодлогыг оруулсан: Балхүүгийн Батбаясгалан
Бодолт
Заавар:
Бодолт: $f(x)=\sum\limits_{i\ge 0}c_ix^i$ гээд $f^2(x)$-ийг авч үзье.
\begin{align*} f^2(x)&=\big(\sum\limits_{i\ge 0}c_ix^i\big)\big(\sum\limits_{i\ge 0}c_ix^i\big)\\ &=\sum_{i\ge 0}\big(\sum_{k=0}^{i} c_kc_{i-k}\big)x^i\\ &=\sum_{i\ge 0}c_{i+1}x^{i}=\dfrac{1}{x}\sum_{i\ge 0}c_i x^i-\dfrac{c_0}{x}\\ &=\dfrac{1}{x}f(x)-\dfrac{1}{x} \end{align*} буюу $$xf^2(x)-f(x)+1=0$$ тул $$f(x)=\dfrac{1+\sqrt{1-4x}}{2x}\text{ эсвэл }f(x)=\dfrac{1-\sqrt{1-4x}}{2x}$$ байна. $f(0)=c_0$ тул $f(x)=\dfrac{1-\sqrt{1-4x}}{2x}$ гэж авна.
$$(1-4x)^{\frac12}=1+\binom{\frac12}{1}(-4x)+\ldots+\binom{\frac12}{n}(-4x)^n+\ldots{}$$ өргөтгөсөн биномын задаргааг ашиглан $c_n=[x^n]f(x)$-ийг олбол \begin{align*} c_{n}&=\dfrac{1}{2}\binom{\frac12}{n+1}(-4)^{n}=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{\frac{1}{2}\left(\frac12-1\right)\dots\left(\frac12-n\right)}{(n+1)!}\cdot(-4)^n\\ &=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{\frac{1}{2}\left(-\frac12\right)\left(-\frac32\right)\dots\left(-\frac{2n-1}2\right)}{(n+1)!}\cdot(-4)^n =\dfrac{(2n-1)!!\cdot 2^n}{(n+1)!}\\ &=\dfrac{(2n-1)!!\cdot (2n)!!}{(n+1)!\cdot n!}=\dfrac{2n!}{(n+1)!\cdot n!}=\dfrac{1}{n+1}\binom{2n}{n} \end{align*} болов.
\begin{align*} f^2(x)&=\big(\sum\limits_{i\ge 0}c_ix^i\big)\big(\sum\limits_{i\ge 0}c_ix^i\big)\\ &=\sum_{i\ge 0}\big(\sum_{k=0}^{i} c_kc_{i-k}\big)x^i\\ &=\sum_{i\ge 0}c_{i+1}x^{i}=\dfrac{1}{x}\sum_{i\ge 0}c_i x^i-\dfrac{c_0}{x}\\ &=\dfrac{1}{x}f(x)-\dfrac{1}{x} \end{align*} буюу $$xf^2(x)-f(x)+1=0$$ тул $$f(x)=\dfrac{1+\sqrt{1-4x}}{2x}\text{ эсвэл }f(x)=\dfrac{1-\sqrt{1-4x}}{2x}$$ байна. $f(0)=c_0$ тул $f(x)=\dfrac{1-\sqrt{1-4x}}{2x}$ гэж авна.
$$(1-4x)^{\frac12}=1+\binom{\frac12}{1}(-4x)+\ldots+\binom{\frac12}{n}(-4x)^n+\ldots{}$$ өргөтгөсөн биномын задаргааг ашиглан $c_n=[x^n]f(x)$-ийг олбол \begin{align*} c_{n}&=\dfrac{1}{2}\binom{\frac12}{n+1}(-4)^{n}=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{\frac{1}{2}\left(\frac12-1\right)\dots\left(\frac12-n\right)}{(n+1)!}\cdot(-4)^n\\ &=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{\frac{1}{2}\left(-\frac12\right)\left(-\frac32\right)\dots\left(-\frac{2n-1}2\right)}{(n+1)!}\cdot(-4)^n =\dfrac{(2n-1)!!\cdot 2^n}{(n+1)!}\\ &=\dfrac{(2n-1)!!\cdot (2n)!!}{(n+1)!\cdot n!}=\dfrac{2n!}{(n+1)!\cdot n!}=\dfrac{1}{n+1}\binom{2n}{n} \end{align*} болов.
Сорилго
Энэ бодлого ямар нэг сорилгод ороогүй.