Монгол Бодлогын Сан

$p_{k,\ell}(n)$ нь $n$ тоог нэмэгдэхүүн бүр нь $\ell$-ээс үл хэтрэх $k$-аас илүүгүй тооны нийлбэрт задлах боломжийн тоо байг. $p_{0,0}(0)=1$ гэж авъя. $n\le k\ell$ байна. $$g_{k,\ell}(x)=p_{k,\ell}(0)+p_{k,\ell}(1)x+\dots+p_{k,\ell}(k\ell)x^{k\ell}$$ $g_{0,\ell}(x)=1$, $g_{k,0}(x)=1$.

1. $p_{k,\ell}(n)-p_{k,\ell-1}(n)=p_{k-1,\ell}(n-\ell)$
2. $g_{k,\ell}(x)=g_{k,\ell-1}(x)+g_{k-1,\ell}(x)x^{\ell}$
3. $p_{k,\ell}(n)-p_{k-1,\ell}(n)=p_{k,\ell-1}(n-k)$
4. $g_{k,\ell}(x)=g_{k-1,\ell}(x)+g_{k,\ell-1}(x)x^k$
5. $g_{k,\ell}(x)=g_{k-2,\ell+2}(x)\cdot\dfrac{1-x^{\ell+1}}{1-x^k}\cdot\dfrac{1-x^{\ell+2}}{1-x^{k-1}}$
6. $g_{k,\ell}(x)=\dfrac{(1-x^{\ell+1})(1-x^{\ell+2})\dots(1-x^{\ell+k})}{(1-x^k)(1-x^{k-1})\dots(1-x)}$
7. $h_m(x)=(1-x)(1-x^2)\dots(1-x^m)$ гэвэл $(7)$-г $$g_{k,\ell}(x)=\frac{h_{k+\ell}(x)}{h_k(x)h_{\ell}(x)} \qquad(8)$$ $(8)$-аар илэрхийлэгдэж буй $g_{k,\ell}(x)$-г Гауссын олон гишүүнт гэдэг. $(8)$-аас $$g_{k,\ell}(x)=g_{\ell,k}(x)\qquad(9) $$ гэж гарах ба $$g_{k,\ell}(1)=C_{k+\ell}^k\qquad(10) $$ $\deg f=n$ ба $f^R(x)=x^nf\left(\frac1x\right)=f(x)$ бол $f(x)$-ийг буцах олон гишүүнт гэдэг.
8. $g_{k,\ell}(x)$ нь буцах олон гишүүнт гэж батал. $(9)$-өөс $$p_{k,\ell}(n)=p_{\ell,k}(n)\qquad(11)$$ гэж гарна.
9. $p_{k,\ell}(n)=p_{k,\ell}(k\ell-n)$
10. $p_{k,\ell}(0)+p_{k,\ell}(1)+\dots+p_{k,\ell}(k\ell)=C_{k+\ell}^k$