Монгол Бодлогын Сан

Заавар:

Бодолт: \begin{align*} A(z)&=\sum\limits_{n} a_n z^n=\sum\limits_{n} \sum\limits_{k=0}^{[n/2]}\binom{n-k}{k}6^k z^n\\ &=\sum\limits_{n} \sum\limits_{k}\binom{n-k}{k}6^k z^n=\sum_n z^n\sum_{m}\binom{m}{n-m}6^{n-m}\\ &=\sum_{m}z^m\sum_{n}\binom{m}{n-m}(6z)^{n-m}=\sum_{m}z^m(1+6z)^{m}\\ &=\dfrac{1}{1-z(1+6z)}=\dfrac{1}{1-z-6z^2}\\ &=\dfrac15\left(\dfrac{3}{1-3z}+\dfrac{2}{1+2z}\right) \end{align*} тул $a_n=\dfrac{3^{n+1}+(-2)^{n+1}}{5}$ болно. $p>5$ тул $(p,5)=1$ ба $p$ сондгой байна. Иймд $$a_{p-2}=\dfrac{3^{p-1}+(-2)^{p-1}}{5}\equiv 5^{-1}\cdot (3^{p-1}-2^{p-1})\pmod{p}$$ болох ба Фермагийн теоремоор $a_{p-2}\equiv 0\pmod{p}$ болж батлагдав.