Монгол Бодлогын Сан
Эх хэлээрээ суралцаж, эх хэлээрээ мэдлэгээ түгээе.
Бодлого №16327
$x^n=\sum\limits_k\genfrac{\{}{\}}{0}{0}{n}{k}(-1)^{n-k}x^{\overline k}$, $x^{\underline n}=\sum\limits_k\genfrac{[}{]}{0}{0}{n}{k}(-1)^{n-k}x^k$ болохыг батал.
Бодлогын төрөл: Уламжлалт
Бодлогыг оруулсан: Балхүүгийн Батбаясгалан
Бодолт
Заавар: \noindent[(1)-д 2 б)-г анхаарч дараа нь $x$-ийг $-x$-ээр соливол $(5)$
гарна. Мөн адилаар $(4)$-өөс $(6)$ гарна.]
$(1)$ ба $(4)$-$(6)$-г зэргийн хувиргалтын томъёонууд гэдэг. $(4)$-г $(5)$-д тавибал $x^n=\sum\limits_{k,m}\genfrac{\{}{\}}{0}{0}{n}{k}\genfrac{[}{]}{0}{0}{k}{m}(-1)^{n-k}x^m$. Үүний баруун талд $s\ne n$ бол $x^s$-ийн коэффициент тэг байх учир $m, n\ge0$ үед $\sum\limits_k\genfrac{\{}{\}}{0}{0}{n}{k}\genfrac{[}{]}{0}{0}{k}{m}(-1)^{n-k}=[m=n]$ урвалтын томъёо гарна. Мөн $\sum\limits_k\genfrac{[}{]}{0}{0}{n}{k}\genfrac{\{}{\}}{0}{0}{k}{m}(-1)^{n-k}=[m=n]$.
$(1)$ ба $(4)$-$(6)$-г зэргийн хувиргалтын томъёонууд гэдэг. $(4)$-г $(5)$-д тавибал $x^n=\sum\limits_{k,m}\genfrac{\{}{\}}{0}{0}{n}{k}\genfrac{[}{]}{0}{0}{k}{m}(-1)^{n-k}x^m$. Үүний баруун талд $s\ne n$ бол $x^s$-ийн коэффициент тэг байх учир $m, n\ge0$ үед $\sum\limits_k\genfrac{\{}{\}}{0}{0}{n}{k}\genfrac{[}{]}{0}{0}{k}{m}(-1)^{n-k}=[m=n]$ урвалтын томъёо гарна. Мөн $\sum\limits_k\genfrac{[}{]}{0}{0}{n}{k}\genfrac{\{}{\}}{0}{0}{k}{m}(-1)^{n-k}=[m=n]$.
Бодолт:
Сорилго
Энэ бодлого ямар нэг сорилгод ороогүй.