Монгол Бодлогын Сан

Заавар:

Бодолт: $k\in\mathbb{N}$ үед $a_{k-1}=ka_k$ гэж индукцээр баталъя. $k=1$ үед $a_0=1\cdot a_1$ тул суурь батлагдлаа. Одоо индункцийн шилжилтийг хийе. $$n(n+1)a_{n+1}=n(n-1)a_n-(n-2)a_{n-1}$$ илэрхийллийг $a_n$-д хуваавал $$n(n+1)\cdot\dfrac{a_{n+1}}{a_n}=n(n-1)-(n-2)\cdot \dfrac{a_{n-1}}{a_n}$$ ба индункцээр $\dfrac{a_{n-1}}{a_n}=n$ тул $$n(n+1)\cdot\dfrac{a_{n+1}}{a_n}=n(n-1)-(n-2)n=n\Rightarrow a_n=(n+1)a_{n+1}$$ болж шилжилт батлагдав. Иймд дурын $n\in\mathbb N$ тооны хувьд $a_{n-1}=na_n$ байна. Эндээс $$\dfrac{a_0}{a_1}+\dfrac{a_1}{a_2}+\dots+\dfrac{a_n}{a_{n+1}}=\dfrac{1}{1}+\dfrac{1}{2}+\dots+\dfrac{1}{n+1}$$ болов.